对数Bloch空间上的乘子和循环元

周智慧,叶善力

(浙江科技学院 理学院,浙江杭州 310023)

§1 引言

令D表示复平面上的单位开圆盘,H(D)表示D上的所有解析函数构成的集合.

对于α>0,如果f ∈H(D),且满足

对于α ∈R,如果f ∈H(D)且满足

假设X和Y均为解析函数空间,若存在解析函数g使得对所有的f ∈X,均有fg ∈Y,则称g是从X到Y上的点乘子.用M(X,Y)表示从X到Y上所有点乘子构成的集合,特别记M(X)=M(X,X).用Mg表示由乘子g确定的算子,即对于任意f ∈X,Mgf=gf.由闭图像定理可得,Mg是从X到Y上的有界线性算子,即‖Mg‖<∞.

令X为H(D)上的一个Banach空间且满足多项式是X上的范数稠密(或者弱∗稠密)子集.若函数f ∈X使得多项式乘子与f的乘积生成的闭空间与X一致,那么就称f为X的(弱∗)循环元.Beurling[8]于1949年给出了Hardy空间H2上循环元的一个完整刻划,这引起了诸多学者对循环元问题的广泛研究.其中,Brown和Shields[9]讨论了Dirichlet空间上的循环元,他们得到了大量结果并提出了许多开放性问题.一些学者针对这些问题做了许多相关研究,见[6-7,10-17].在2021年,Bekker和Cimasuch[18]证明了某些函数族的导数是Bergman空间A2的循环元.本文的第二个作者关于循环元问题也做了诸多工作,分别在[5],[19]中得到了α-Bloch空间Bα上循环元的一些充分条件以及上循环元的一个充要条件.更多关于Hardy空间和Bergman空间的理论知识可分别参见[20]和[21].假设f ∈由对偶讨论可知f是的循环元当且仅当f是BLα的弱∗循环元.§4讨论了BLα上的循环元的一些性质.

在本文中,定义C为一个仅依赖于无关变量的正常数,且在不同情景下可以取不同值.记号a ∼b表示存在常数C>0使得a/C ≤b ≤Ca.

§2 预备知识

本节给出一些在后续工作中所需要的预备知识.

由定义可验证f ∈BLα,这就说明该必要条件在一定意义下是最优的.

引理2.4假设α>0,

(i) 如果α>1,则BLα ⊂A,其中A表示在D上解析且连续到边界的函数构成的集合.

(ii) 如果1/2<α ≤1,则BLα ⊂VMOA⊂∩0

(iii) 如果0<α ≤1/2,则对任意p>0,有BLαHp.

证(i) 该证明与文[20]中定理5.1类似,在此忽略.

(ii) 该证明与文[5]中命题3.5类似,在此忽略.

(iii) 首先回顾一下缺项级数的定义.如果

证(i) 利用积分公式直接计算可得.(ii) 利用三角不等式及引理2.4可得.

引理2.7假设α>0,

(i) 如果{fn}⊂BLα,那么fn弱∗收敛于0当且仅当对任意z ∈D,有

(ii) 如果{ft} ⊂BLα,0

证文[4]证明了BLα同构于一个共轭Banach空间.利用[9]的命题2即可证(i).利用(i)可以推出(ii).

引理2.8(见[19]) 如果f ∈A,那么f关于范数拓扑成为A的循环元当且仅当f在单位闭圆盘上没有零点.

§3 α-对数Bloch空间上的点乘子

将分别从下面三种情况进行讨论.

情形1α<β<1.由于β<1,由(1)和不等式

因此当|z0|→1-时,|g(z0)|→0.由最大模原则即可得证.

情形2 1<α<β.注意到BLβ ⊂BLα,利用定理3.1,则

于是BLβ ⊂M(BLα,BLβ).

§4 α-对数Bloch空间上的循环元

由三角不等式易得supI1≤2‖f‖Lα.为证supI2≤C,考虑α>1,α=1两种情况.

定理4.1设α>1且f ∈BLα.则f是BLα的循环元当且仅当f在单位闭圆盘上没有零点.

证假设α>1且f是BLα的循环元.利用命题2.2,有BLα ⊂A.由[9,命题6]知f是A的循环元.进而,利用引理2.8可知f在单位闭圆盘上没有零点.

另一方面,因为f在单位闭圆盘上连续且没有零点,故存在C>0使得对任意z ∈D,有|f(z)|≥C.由命题4.2可得f是BLα的循环元.

由定理4.1,可以得到下面两个推论.

推论4.1假设α>1.如果f,f-1∈BLα,那么f和f-1均是BLα的循环元.

推论4.2假设α>1,f,g ∈BLα.如果对任意z ∈D,|f(z)|≥|g(z)|且g是BLα的循环元,那么f是BLα的循环元.

定理4.2如果1/2<α ≤1且f是BLα的循环元.那么f是一个外函数.

证由引理2.4知,当1/2<α ≤1时BLα ⊂H2.Beurling[8]证明了如果g ∈H2,那么g是H2的循环元当且仅当g没有内函数因子.因此由[9,命题6]知f是外函数.