B-统计-α-可积与大数定律

陈梦如 ,汪忠志 ,彭维才

(1.皖江工学院 基础部,安徽马鞍山 243000;2.安徽工业大学微电子与数据科学学院,安徽马鞍山 243000;3.巢湖学院 数学与大数据学院,安徽合肥 238000)

§1 引言

众所周知,极限理论在概率论,泛函分析,物理,通信,金融等领域有着重要应用,引起了广泛的研究并获得了丰富的研究成果.如,杨卫国等(2014)[1],石志岩等(2017)[2]和黄辉林(2019)[3]建立了马尔科夫链的强大数定律.吴群英(2021)[4]建立了次线性期望空间下加权和的强极限定理.此外,在概率论极限理论中,一致可积可以在弱大数定律成立的情况下放宽随机变量序列同分布的条件,因而得到了极大的推广.Chandra (1989)[5]推广了一致可积(Chung (1974)[6])的概念,给出了Cesàro一致可积的定义.研究表明更一般的Cesàro一致可积是大数定律成立的一个基本条件.例如,Bose 和Chandra (1993)[7]证明了在一般情况下,Cesàro一致可积可以推出收敛.随后,Cabrera (1994)[8]又对Cesàro一致可积进行了推广,定义了{ank}-一致可积,并得到了在{ank}-一致可积条件下的加权和ank(Xk-EXk)的一类极限定理.然而,仍有许多随机变量序列无法满足以上的一些一致可积条件,因此对条件较弱的可积性的研究是非常有必要的,事实上,已有许多学者对此进行了研究.比如,Chandra和Goswami (2003)[9]将Cesàro一致可积推广到了可积,定义了Cesàroα-可积和强Cesàroα-可积的概念.在这两类可积条件下,弱大数定律和强大数定律对两两独立的随机变量序列依然成立.之后,Chandra和Goswami (2006)[10]又提出了一组更一般的可积性的概念,称为残差Cesàroα-可积和残差Cesàro (α,p)-可积,得到了若干相依随机变量序列的Lp收敛定理和强大数定律.

近年来,对随机变量序列一致可积性在统计意义上的推广的研究引起了许多学者的极大兴趣.例如,Antonini等(2019)[11]定义了随机变量序列A-统计一致可积的概念,这个概念比经典的一致可积更一般,且给出了A-统计一致可积的一些性质.Cabrera等(2020)[12]提出了随机变量序列基于{ank}的B-统计一致可积的概念(简称BUI).在B-统计一致可积条件下,得到了两两独立的随机变量序列的加权和ank(Xk-EXk)的统计意义上平均收敛的大数定律.

虽然从统计意义上对可积性进行推广的研究有着重要的意义,但关于B-统计的可积性还未见讨论,这里“B”是一个非负正则可和矩阵.众所周知,可和性理论可以使非收敛级数或序列在更一般的意义上收敛.因此,它在概率论极限理论中有着广泛的应用(具体可见Cabrera等(2022)[13];Ünver等(2017)[14]).本文中,引入了一个非负正则可和矩阵“B”来定义一类新的概念:基于{ani}的B-统计-α-可积(BI(α)),基于{ani}的残差B-统计-α-可积(RBI(α))和基于{ani}的残差B-统计-(α,p)-可积(RBI(α,p)).这些概念都要比基于{ank}的B-统计一致可积(见Cabrera等(2020)[12])和Cesàroα-可积(见Chandra和Goswami(2003)[9])更一般.此外,还得到了ani(Xi-EXi)和aniXi的B-统计p阶平均收敛定理,这是对Cabrera等(2020)[12]的结果的推广.

本文结构如下:§2给出了一些符号的含义,基本的定义和所需要的引理;§3给出了本文的主要结果和证明,包括B-统计平均收敛的大数定律及一些推论.

§2 预备知识

实数M称为序列{xk}的一个B-统计上界,如果δB({k ∈N :xk>M})=0.且{xk}称为B-统计有上界的序列.所有B-统计上界构成的集合的下确界称为{xk}的B-统计上确界,记为

如果对任意的ε>0,有

则称序列{xk}是B-统计收敛到实数α的,记为stB-limk→∞xk=α.

定义2.2[12]称随机变量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-统计一致可积(BUI)的,如果

现在给出一些新的可积性的定义,这些可积比BUI更具有一般性.

定义2.3令α ∈(0,∞),称随机变量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-统计-α-可积(BI(α))的,如果以下两个条件成立:

注2.1显然对β>α>0,若序列是BI(α)的,则一定也是BI(β)的.

在定理3.1中,证明了BI(α)(α>0)的条件比BUI弱,也就是说对所有的α>0,满足BUI的随机变量序列一定是BI(α)的.

定义2.4令α ∈(0,∞),称随机变量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的残差B-统计-α-可积(RBI(α))的,如果以下两个条件成立:

定义2.5令α ∈(0,∞)p ∈(0,∞),称随机变量序列{Xi,i ∈N}是基于{ani}的B-统计-(α,p)-可积(RBI(α,p))的,如果以下两个条件成立:

注2.3不难看出,当p=1时,RBI(α,1)与RBI(α)等价.此外,若随机变量序列{|Xi|p,i ∈N}是BI(β)的,则{Xi,i ∈N}一定是RBI(α,p)的,其中α=β/p.

在给出下列引理之前,先介绍一下B-统计p阶平均收敛的概念.设p ≥1,称随机变量序列{Xi,i ∈N}是B-统计p阶平均收敛于随机变量X的,如果

§3 主要结果

定理3.1若随机变量序列{Xi,i ∈N}是BUI的,则对任意的α>0,它都是BI(α)的.

证如果{Xi,i ∈N}是BUI的,则存在λ,0<λ<∞,使得

由引理2.2可知存在一个Borel可测函数φ:(0,∞)→(0,∞),使得

定理3.2假设两两独立的随机变量序列{Xi,i ∈N}是BI(α)的.令实数阵列{ani}满足

由序列的两两独立性可得

推论3.1如果定理3.2中的条件BI(α)替换为较弱的RBI(α),结论仍然成立.

注意到{Zi,i ∈N}也是一个鞅差序列且

因此对任意的ε>0有

注3.1若非负正则可和矩阵B是单位矩阵,则由定理3.5可立即推得[10]中的定理3.1.这说明定理3.5是其定理3.1的推广.