顺应“三新”趋势 探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

(作者单位 姓名：甘肃省嘉峪关市第二中学 彭长军)

(作者单位 姓名：吉林省磐石市第二中学 韩兆峰)

(作者单位 姓名：河北省定州中学 赵伟娜)

【精选变式题组】

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【变式1】(知识变式)将夹角变为直角

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【变式2】(方法变式)将条件变为已知三角形F1NF2的面积

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(Ⅰ)求C的方程;

【变式1】(知识变式)由双曲线背景到椭圆背景的变式

(Ⅰ)写出C的方程;

(Ⅱ)设过点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C交于不同的两点M,N,点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P纵坐标的取值范围.

【变式2】(方法变式)由斜率关系探究是否存在满足条件的点

(改编)已知动圆与圆F1:(x+5)2+y2=49和圆F2:(x-5)2+y2=1都外切.

(Ⅰ)证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支,并求其方程;

(Ⅱ)若直线AB与轨迹C交于A,B两点,Q(3,0),记直线AQ和BQ的斜率分别为k1,k2,且3k1k2+16=0,QP⊥AB于点P.证明:存在点N,使得|NP|为定值.

【变式3】(综合变式)对定直线及面积的最值的探究

(Ⅰ)求Γ的方程;

(Ⅱ)若AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,直线AN与BM交于点C.

(ⅰ)求证:点C在一条定直线上,并求此定直线;

(ⅱ)求△ABC面积的最大值.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)求四边形ABCD面积的最小值.

【变式1】(知识变式)曲线方程的变化:椭圆变为双曲线

(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;

(Ⅱ)如图,过原点O作互相垂直的直线l1,l2分别交双曲线于A,B两点和C,D两点,A,D在x轴同侧,求四边形ABCD的面积的取值范围.

【变式2】(方法变式)两弦位置关系的变化:垂直变为斜率之积为定值

(Ⅰ)求|AB|(用k表示);

【变式3】(综合变式)结论发生变化,求解梯形面积后利用导数研究复杂形式的最值

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)过点F且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A,B两点,过点A,B分别作直线x=4的垂线,垂足分别为点D,E,求四边形ABED面积的最大值.

【母题详解及答案】

【母题1】【解题策略】充分利用已知条件通过几何作图、垂直辅助、巧用三角、定义搭桥等手段进行求解,相应解题步骤的思维导图如下:

【解题思路】当M,N两点分别在双曲线C的左、右两支上时,

解法一:如图,在△NF1F2中,

由余弦定理及双曲线的定义,

得|F1F2|2=|NF1|2+|NF2|2-2|NF1||NF2|·cos∠F1NF2,

设直线MN与圆O的切点为点P,连接OP,

过点N作NG⊥x轴于点G,

易证Rt△F1PO∽Rt△F1GN,

又|NF1|-|NF2|=2a,

解法二:如图,设直线MN与圆D的切点为P,连接OP,

则OP⊥MN.

过点F2作F2Q⊥F1N于点Q,

则OP∥F2Q.

又O是F1F2的中点,

∴|F2Q|=2|OP|=2a.

由双曲线的定义,

得|NQ|+|QF1|-|NF2|=2a,

∴3a=2b,∴9a2=4b2=4c2-4a2,

当M,N两点均在双曲线的左支上时,

如图,在△NF1F2中,

由余弦定理及双曲线的定义,

设直线MN与圆O的切点为点P,

连接OP,过点N作NG⊥x轴于点G,

易证Rt△F1PO∽Rt△F1GN,

又|NF2|-|NF1|=2a,

∴4c2=4a2+a2=5a2,

故选AC.

【变式1】C

【变式2】C

(作者单位 姓名：甘肃省嘉峪关市第二中学 彭长军)

【母题2】【解题策略】(Ⅰ)由双曲线的离心率及参数关系,根据曲线上的点满足曲线方程,列方程(组),利用待定系数法即可解答;(Ⅱ)解法一:将直线方程与二次曲线的方程联立,结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法,体现了解析几何的特征,是该题的解题通法,也是最优解法;解法二:参数方程的使用充分利用了参数的几何意义,要求解题过程中对参数有深刻的理解,并能够灵活的应用到题目中;解法三:圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想,二次曲线系的应用使得计算更为简单.

所以轨迹C是以点F1,F2为左、右焦点的双曲线的右支,

(Ⅱ)解法一:点拨:直线方程与双曲线方程联立

由题意可知直线AB,PQ的斜率均存在且不为0,

设A(xA,yA),B(xB,yB),

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

因为k1≠k2,所以k1+k2=0.

解法二:点拨:参数方程法

代入曲线C的方程16x2-y2-16=0(x≥1),

整理得(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2msinθ1)t-(m2+12)=0.

设TA=t1,TB=t2,

设直线PQ的倾斜角为θ2,

TP=t3,TQ=t4,

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

得cos2θ1=cos2θ2.

因为θ1≠θ2,所以cosθ1=-cosθ2,

所以θ1+θ2=π,

所以tanθ1+tanθ2=0,

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

解法三:点拨:利用圆幂定理

因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

由圆幂定理知A,B,P,Q四点共圆.

因为A,B,P,Q四点共圆,

所以xy项的系数为0,

即k1+k2=0.

(Ⅱ)证明略.

(作者单位 姓名：吉林省磐石市第二中学 韩兆峰)

【母题3】【解题策略】

(Ⅱ)由题意知椭圆的右焦点F(1,0).

当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0,

另一条弦所在直线的斜率不存在时,

②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,

设直线AB的方程为y=k(x-1),

设A(x1,y1),B(x2,y2),

消y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

当且仅当4k2+3=3k2+4,

即k=±1时,等号成立.

【方法总结】解决圆锥曲线中的取值范围与最值问题的基本策略有:

几何法:根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何的相关知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等等).

代数法:题中的条件和结论能体现出明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.

常从以下几个方面考虑:

①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系;

③利用基本不等式求出参数的取值范围;

④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.

(Ⅱ)[6,+∞).

(Ⅱ)9.

(作者单位 姓名：河北省定州中学 赵伟娜)