研究高考真题 强化变式探究 提升核心素养——以2022·新高考Ⅱ·12的基本不等式解法为例

邓成兵 林 莉

(四川省成都市航天中校)

不等式是高中数学的一个重要内容,而基本不等式是不等式的核心,是证明诸多不等式的一个出发点.它不但是求二元函数的最值问题的一个最基本、最有效的工具,还可以推广到三元甚至n元的算数——几何平均不等式或基本不等式.基本不等式是高考常考的一个知识点.据统计,2015年到2022年全国各地高考直接或间接考查基本不等式理科26次、文科28次.情况分析:选择题理科8次、文科10次,填空题理科13次、文科14次,选做题理科3次、文科2次,解答题2次(均在第二问以求最值的方式进行考查);其中绝大部分试题难度为基础题和中档题;只有2022年全国甲卷文科第12题用基本不等式求解偏难.(统计表如下表所示)

基本不等式近八年在高考中的地位及难度分析

《普通高中数学课程标准(2017版2020年修订)》中指出,高中数学教学应该以发展学生数学核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质,用科学方法分析问题、解决问题,才有利于引导学生将其转化为自己的思维方式.本文以2022·新高考Ⅱ·12的研究及变式探究,与大家分享、交流如何发展学生思维,提升学生核心素养.

1 基本不等式及解读

基本不等式1:∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

用基本不等式2求最值时,必须满足“一正、二定、三相等”,忽略某个条件,就会出错.基本不等式求最值的基本原理“积定和最小”及“和定积最大”.为了方便理解记忆,可用一首诗表示:

兄弟二人叫基本,本领确实大的很.

弟弟两数都要正,哥哥通吃是全能.

和积平方都要正,注意何时能取等.

变形配凑奥妙深,等或不等皆学问.

2 试题呈现与解法探究

【题目】(2022·新高考Ⅱ·12)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则

( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

【命题意图】本题考查二元二次方程、最值问题.可以利用三角换元、数形结合、极坐标法、基本不等式等求解;从多维度多方面考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理、直观想象等核心素养,综合型较强.

解法一:三角换元

根据正弦函数有界性求解:

由x2+y2-xy=1可得,

∴选项A错误,B正确;

故选BC.

解法二:数形结合

画出x2+y2-xy=1表示的图形,

由解析式得出函数关于直线y=x对称,

图形过坐标系内的四点(1,0),(0,1),(1,1),(-1,-1),

猜测解析式所对应的图形是关于直线y=x对称的椭圆.

画出大致图形.

对于A选项,

画出直线x+y=1,

直线的左下方满足x+y<1,

直线的右上方满足x+y>1,

椭圆有一部分在直线的左下方,

有一部分在直线的右上方,

有一部分在直线上(如图1所示),

图1

故A选项错误;

对于B选项,

画出直线x+y=-2,

直线的左下方满足x+y<-2,

直线的右上方满足x+y>-2,

直线x+y=-2与椭圆相切,

椭圆在直线的右上方或在直线上(如图2所示),

图2

故B选项正确;

对于C选项,

画出x2+y2=2的图形,

此曲线是以坐标原点为圆心,

x2+y2≤2表示圆的内部和圆上的点,

通过图象发现曲线x2+y2-xy=1上的点全部在圆的内部或在圆上(如图3所示),

图3

故C选项正确;

对于D选项,

画出x2+y2=1的图形,

此曲线是以坐标原点为圆心,

1为半径的圆,

x2+y2≤1表示圆的内部和圆上的点,

通过图象发现曲线x2+y2-xy=1上的点有一部分在圆内,

有一部分在圆外,

有一部分在圆上(如图4所示),

图4

因此D选项错误,

故选BC.

解法三:极坐标法

且x+y=ρ(cosθ+sinθ),

∴-2≤x+y≤2,

故选项A错误,选项B正确;

故选项C正确,选项D错误,故选BC.

解法四:基本不等式法

由x2+y2-xy=1得

解得-2≤x+y≤2,

当且仅当x=y=±1,

即x+y=-2或x+y=2时,等号成立,

故选项A错误,选项B正确;

由x2+y2-xy=1得(x2+y2)-1=xy.

化简得x2+y2≤2,

当且仅当x=y=±1时取等号,

故选项C正确,

故选项D错误,故选BC.

【试题评析】

1.解法一:主要考查把二元二次方程转化为a2+b2=1型,利用三角代换及正弦型函数的有界性求最值;解法二:画出x2+y2-xy=1表示的图形,结合图形求解;解法三:利用极坐标与直角坐标进行转化,由正弦型函数的有界性求解;解法四:利用基本不等式的推论逐一判断求解,四种解法从多维度多方面考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理、数学建模等核心素养,综合型较强.

2.解法一难点是学生很难想到把方程转化为a2+b2=1型,利用三角换元进行求解;解法二难点是画二元二次方程x2+y2-xy=1的图形;解法三利用极坐标求解,难点是求x+y的最小值;解法四只需利用基本不等式及其推论便可求解.

3.通过四种方法的比较发现:求解二元函数的最值问题,方法不唯一,但基本不等式是求解此类问题的一个最基本、最有效的工具.

根据2015年到2022年全国高考试题分析得出,仅仅掌握了基本不等式本身,解题时还会遇到很多困难,如果适当地记住它的一些重要的推论(笔者把它叫“下游命题”),在解题时就能够缩短条件和结论的距离.

思考:解法四中的(*)式整理可以获得什么结论呢?

我们把这个式子叫作绝对值基本不等式.

结论:已知平方和为定值,可以求积的最大值和最小值.

【解题思维导图】

高考命题有一条重要的原则:“源于教材,高于教材”,回归课本就是寻“源”,即寻找高考出题的源头,同时教材也是数学知识和思想方法的重要载体,因此教师的教学应立足于教材,强化回归教材的意识,掌握回归教材的方法和提升学生的数学核心素养.每年高考真题都有源自于教材的例习题,重在考查学生的基本知识、基本思想和基本技能,对学生的思维量、灵活性、数学核心素养提出较高要求.本题由数学《2019年人教A版必修第一册》P58综合运用第5题改编:若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围.

著名数学家波利亚说过这样一句话:“掌握数学也就意味着要善于解题”,所以解一道经典的高考数学题不能只就题论题或一题多解而草草结束,而是要揭开此题的内涵和价值.为实现这一目的,需要对它进行强化变式.通过变式探究,不但可以培养学生分析问题和解决问题的能力、归纳和演绎的能力,而且还能提升学生的数学核心素养,从而帮助学生更有效地学习数学.

3 变式探究

【变式1】已知x,y∈R*且x+y=2,求x2+y2-xy的取值范围.

解析:由x+y=2,

两边平方化简得x2+y2=4-2xy.

当且仅当x=y=1时,等号成立,

∴x2+y2-xy=4-3xy∈[1,4).

【评析】该解法把x2+y2消掉,原式转化为只含xy的代数式,再利用基本不等式2进行求解.

解析:∵x2+y2-xy=1,

∴x2+y2=xy+1.

【变式3】已知x>0,y>0,且xy=2x+y+1,求x+2y的最小值.

解析:由xy=2x+y+1得

则y-2>0,

【评析】对已知求最值,要把条件按照要求的式子的结构进行转化,此类问题形式多样,要在解题过程中不断摸索、善于思考,总结解题规律,故本题是通过方程思想,用含有y的关系式表示x,代入所求代数式,再配凑出符合基本不等式的条件.正是:

已知条件求最值

恰当变形凑和积

分析综合勤总结

熟能生巧揭本质

解法一:∵2x+y=x2y3,

【评析】结合已知条件的关系进行恒等变形,转化为等式右侧为1的恒等式,通过所求的代数关系式的平方转化,结合关系式的变形,借助基本不等式及代“1”法,求解最值问题.巧妙地运用恒等变形与转化,以及对关系式的升次处理,为两者之间构建起基本不等式的“桥梁”,实现代数式最值的破解.

解法二:由2x+y=x2y3得

x2y3-2x-y=0,

解关于x的一元二次方程,

当且仅当y2=1,

即y=1时,等号成立,

和积不等就是好

不知何时就用到

原始条件不具备

一个凑字能创造(注:和积不等指和积不等式)

【评析】此题以双变元的高次代数关系式为背景,结合双变元的一次分式之和的代数式的求解最值.题目条件简洁明了,题意清晰明确,条件是整式方程,目标是分式代数式.

变式训练有利于学生发现解题规律并掌握规律,解完题后,师生一起回归解题的过程,让学生看到只要学会思考,再复杂的题,都可以转化为简单的问题或已经解决的问题,都能寻找到解题方法背后的规律及所蕴含的本质.如果合理地运用变式探究,让学生体会到数学思想方法的价值和妙用,就能有效地提升学生的数学核心素养.

4 拓展变式探究

解法一:∵x>0,y>0,

即x=y=1时,等号成立,

【评析】利用基本不等式求最值是高考的重要考点之一,常见考法是如何灵活地创造基本不等式的使用条件,如:凑系数、拆项、1的替换等,对于两次使用基本不等式时要保证等式能同时成立,当条件不满足时,要创造基本不等式的使用条件:“和定积最大”或者“积定和最小”.

如果a1,a2,…,an为n个正数,

当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

我们把此结论叫做基本不等式2的推论.

即x=y=1时,等号成立,

【评析】增加思维梯度,提高学生的模式识别能力,激发学生的潜能,让学生学得的数学思想方法更深刻、更清晰,促使学生思维的完善与发展,从而提升学生的核心素养.

数学变式训练是数学教学中的一个重要教学方式,其关键是把变式中解题方法的共性总结出来,达到一法多用.如何把这些独立的知识与方法用整理、归纳的方式串联起来?笔者认为可以借助思维导图来完成,这对进一步提高学生的解题能力,完善学生的认知结构,提升学生的核心素养起着重要作用.如本文利用基本不等式求二元或多元解析式的最值问题,可以画出它的思维导图,如下所示:

5 方法反思和素养再现

文章以2022·新高考Ⅱ·12及变式,求二元或多元解析式的最值问题发现:往往是结合双变元或多变元解析式的基本特征(整式、分式、根式等),合理恒等变形与转化,运用逻辑思维与代数运算、借助基本不等式思维、函数或方程思想以及其他重要不等式思维等,利用一些常见的基本思维与方法加以切入与破解.

因此,在高考复习的设计中,可以选择一道或几道既符合学生“最近发展区”又具有代表性的高考试题为导向,引领高三学生复习,贯穿课堂教学的始终,让学生在例题的探究活动中体会知识间的联系,在例题的变式中将学生已有的知识结构、思维习惯和思维能力整合优化,把数学知识体系变成自我认识的升华,从而提升学生的数学核心素养.