聚焦新高考“创新性”研究
——第二届命题征集活动函数专题优质创新试题选登
2023-04-15作者单位姓名广西省南宁市第八中学谢松兴
(作者单位 姓名：广西省南宁市第八中学 谢松兴)
(作者单位 姓名：广东省华南师范大学附属中学汕尾学校 袁平红)
(作者单位 姓名：江西省瑞金第一中学 谢小平)
(作者单位 姓名：河南省范县第一中学 石同民)
(作者单位 姓名：广州市南沙第一中学 周艳祖)
【原创创新试题组】
( )
【原创3】若对任意的0
(Ⅰ)求角A的大小;
【答案详解及创新分析】
【试题1】【解题思路】
所以lna-lnb+b>a,
即b-lnb>a-lna.
令f(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=1时,f(x)有极小值,
且极小值为f(1)=1,
作出f(x)=x-lnx的大致图象如图所示.
因为b-lnb>a-lna,所以f(b)>f(a),
对于A选项,f(x)在(0,1)上单调递减,
当1>a>b>0时,
故A正确;
对于B,C选项,因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,
故B正确,C错误;
对于D选项,f(x)在(0,1)上单调递减,
在(1,+∞)上单调递增,对于0 总能找到b>1使f(b)>f(a)成立, 故D正确. 综上,故选ABD. 【创新点分析】本题为多选题,是新高考改革新题型,考查“举例问题”:比较三个式子的大小.数学学科的“举例问题”设问形式灵活,要求考生根据题目给出的要求、性质和定理等条件,从题干中获取信息,整理信息,写出符合题干要求的结论或具体实例,从而增加了试题的开放度. 从知识背景角度上看,本题综合考查对数的图象及其运算性质,利用导数确定函数的单调性,解题的关键点是通过已知条件,构造函数f(x)=x-lnx,利用导数确定函数的单调性,结合不等式的性质比较三个式子的大小,考查考生化归与转化和数形结合的数学思想,考查逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养. (作者单位 姓名：广西省南宁市第八中学 谢松兴) 【试题2】【解题思路】 若设函数f(x)=Asin(ωx+φ), 由f(x)的最大值为2得A=±2, 所以满足条件的函数解析式可以为 若设函数f(x)=Acos(ωx+φ), 所以满足条件的函数解析式可以为 若设函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b 或f(x)=Acos(ωx+φ)+b, 在前两种函数的基础上调整系数A,b的大小, 使得最大值为2,比如A=±1,b=1或A=±4,b=-2,答案不唯一. 【创新点分析】本题属于创新题型,在填空题位置设置开放性问题,答案不唯一.本题以三角函数的性质为背景,反向考查三角函数的性质.传统考查性质的形式是给出函数的解析式,考查函数的性质,多以解答题形式设置,或者给出三角函数的图象求解析式.本题与给出函数图象求解析式有点类似,但是是以填空题的形式来呈现,需要考生对三角函数的图象和性质熟练掌握,同时考查问题的思维方式跟之前也有所不同,即综合函数的性质得解析式. (作者单位 姓名：广东省华南师范大学附属中学汕尾学校 袁平红) 【试题3】【解题思路】 由x1ex2-x2ex1>ex2+1lnx1-ex1+1lnx2, 得x1ex2-ex2+1lnx1>x2ex1-ex1+1lnx2, 即ex2(x1-elnx1)>ex1(x2-elnx2), 所以当x∈(0,e)时,g(x)<0,即f′(x)<0, 即f(x)在(0,e)上单调递减, 故实数a的最大值为e. 【创新点分析】题干设置简洁精练,设问新颖.因为函数的单调性考查一般是给出的函数解析式中含参,求参数的取值范围,而解答本题首先要找到本题考查的本质,即已知函数的单调性,再用子集观点求参数的取值范围.找本质的关键是对题设的不等式进行变形实现同构,再构造函数(当下热点),考查考生的函数与方程的思想、化归与转化的思想,同时也很好地考查考生逻辑思维的缜密性,充分体现了导数在研究函数单调性中的应用. (作者单位 姓名：江西省瑞金第一中学 谢小平) 【试题4】【解题思路】 因为acosB-bcosC=(c-a)cosB, 所以2acosB=bcosC+ccosB. 由正弦定理得 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C), 因为sin(B+C)=sinA>0, 在△ABD中,由余弦定理得, AB2+BD2-2AB·BD·cosB=AD2, 整理得4c2+a2-2ac=4. 解得a=2,c=1. 若选②,在△ABC中, 由余弦定理,得a2+c2-2accosB=b2, 即a2+c2-ac=3, 解得a=2,c=1. 【创新点分析】随着旧高考向新高考过渡,新高考出现的新题型也会在旧高考中有所体现,例如结构不良问题,作为一种开放性试题,考查考生的分析理解能力和优化选择意识,是一种能够很好地考查考生数学素养的新题型. (作者单位 姓名：河南省范县第一中学 石同民) 【试题5】【解题思路】 ∵B∈(0,π),∴sinB≠0, (Ⅱ)解法一:反复运用余弦定理 设BD=x,AB=y,∠ABD=θ,则CB=2x. 在△ABC中,由余弦定理得, AC2=CB2+AB2-2CB·AB·cos∠ABC, 即12=4x2+y2-2×2x·y·cos(π-θ), ① CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB, 在△ABD中,由余弦定理得, AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos∠ABD, 即3=x2+y2-2xycosθ.③ 由③×2+①可得6x2+3y2=18, 将②代入上式可得y=2,x=1, 解法二:正弦定理+余弦定理 设BD=x,∠ABD=θ, 则CB=2x,∠ABC=π-θ. 在△ABC中, 在△ABD中, 在△ACD中,由余弦定理得, CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠CAD, ∴CD=3,即x=1, 在△ABC中, BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB, 解得AB=2或4(舍), 解法三:用向量方法解决三角问题 【创新点分析】第(Ⅰ)问中的条件以半开放式的形式呈现,结合正弦定理与余弦定理,在三角形的边角之间互化,考查考生解三角形中的必备知识与关键能力;第(Ⅱ)问要求考生敏锐捕捉条件中的重要信息,精准作出图形,创新条件的呈现方式,在解答的过程中,可以利用传统的正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式来完成,也可以利用向量方法来解决,向量法解题在运算量方面更具优越性,创新已知条件,从不同角度来分析题目,丰富了解题方法,也体现新高考的变化及趋势. (作者单位 姓名：广州市南沙第一中学 周艳祖)
