例析直角三角形中30°角的作用及构造方法

甘肃省平凉市泾川县第四中学

吕银录

直角三角形中30°角是一个特殊的角，当其出现在一些几何题中时，往往需利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”解题.这一知识点很多学生已经掌握，但在利用时还不够灵活，只能解决一些简单的计算或证明题.而对于与其有关的综合问题，学生则表现得比较被动，尤其是不知如何构造出直角三角形中的30°角.基于此，本文重点谈一谈这个问题，希望对学生有所帮助.

1 直角三角形中30°角的作用

直角三角形中30°角的出现，往往意味着边与边之间存在一定的数量关系，或者角与角之间也存在着某种数量关系[1].直角三角形中30°角的作用主要体现在以下两个方面.

1.1 求边长

“求边长”主要依靠“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”体现，在使用时通常要注意几个问题：首先，该性质在直角三角形中使用；其次，30°角所对的直角边等于斜边的一半，不是其他边之间的关系.如例题1：

图1

例1如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AM平分∠BAC交BC于点M，且AM为15cm.求BC的长.

分析：本题有价值的条件较多，其中利用直角三角形中30°角解决问题是关键.

解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，AM平分∠BAC交BC于点M，

∴∠CAM=∠BAM=30°，∠B=30°.

又∵AM=15，

∴BC=BM+CM=15+7.5=22.5(cm).

如上述，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”解题时，首先要注意是否在直角三角形中，然后要找准是30°角所对的直角边等于斜边的一半，而不是其他边等于斜边的一半.很明显，从本题的解题过程来看，这两个方面都处理得当.

1.2 求角的大小

如果一个直角三角形或其他三角形中出现了30°角，那么通常可求出150°，60°，15°等角，其中求出角度为60°的情况居多，因为这可与等腰三角形、等边三角形等知识点融合起来对学生形成综合考查.如例题2：

图2

例2如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB.

求证：(1)AB=2BC；

(2)CE=AE=EB.

分析：(1)要想证明AB=2BC，已知∠ACB=90°，只需证明∠A=30°即可.

(2)利用等腰三角形及等边三角形的判定定理求证即可.

证明：(1)∵CD，CE三等分∠ACB且∠ACB=90°，

∴∠1=∠2=∠3=30°.

又∵CD⊥AB，

∴∠B=60°.

∴∠A=30°

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).

(2)由(1)可知∠A=∠1=30°.

∴CE=AE，∠CEB=∠A+∠1=60°.

又∵∠BCE=∠2+∠3=60°，∠B=60°，

∴△BCE是等边三角形.

∴CE=EB.

∴CE=AE=EB.

从本题的解题过程来看，直角三角形中30°角的两大作用在这里得到了充分体现.第(1)小题是利用直角三角形中30°角计算边长，而第(2)小题是利用其计算角度大小，继而得出三角形为等边三角形.

2 直角三角形中30°角的构造方法

由于直角三角形中的30°角具有“它所对的直角边等于斜边的一半”的性质，所以常利用构造含30°角的直角三角形，得到图形中更多的边角关系.

纵观这类题目，有些30°是在已知条件中直接告知，有些题目则没有告知，但是可通过其他途径构造出30°角.通常有以下几种情况：

(1)如果题目当中出现了一个角为60°，那么可借助角平分线将该角平分得到30°角；也可通过作垂线等方式构造直角三角形的方式得到30°角，这主要是利用了直角三角形两锐角互余的性质.

(2)如果题中出现了120°角，那么可以将之视为顶角，然后构造出相应的等腰三角形，这样也可得到30°角[2]；或者将120°角分为30°和90°两个角，同样可以得到30°角.

(3)如果题目条件是150°角，那么直接将这个角的其中一条边延长，即可得到其补角30°.

(4)如果题中条件是15°，那么可以将之视为底角，然后构造出相应的等腰三角形，这样得到了顶角的外角为30°的等腰三角形[3].

事实上，无论何种方法，都是从以下两个方面构造直角三角形中的30°角.

2.1 在三角形内部构造

图3

例3如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE=2.求BC的长.

分析：由AB=AC，∠BAC=120°，可知等腰三角形ABC的两个底角都是30°，连接AD，得到另一个以30°角为底角的等腰三角形和一个含30°角的直角三角形.

图4

解：如图4，连接AD.

∵AB=AC，

∠BAC=120°,

在Rt△DEC中，DE=2,

∴CD=2DE=4.

∵BC垂直平分AC,

∴AD=CD.

∴∠DAC=∠C=30°.

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°.

在Rt△ABD中，∠B=30°，

∴BD=2AD=2CD=8.

∴BC=BD+CD=12.

2.2 在三角形外部构造

图5

例4如图5所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB=30°.求证：AD=2BC.

分析：如图6,因为AC平分∠BAD，所以根据角平分线的性质可得出CE=CB，再由“两直线平行，同位角相等”构造出含有30°角的直角三角形，得到CD=2EC，最后由“等角对等边”得到AD=CD，从而得到AD=2BC.

图6

解：如图6所示，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E.

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC.

∵∠B=90°，

∴CB⊥AB.

∵CE⊥AD，

∴CE=CB.

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠DAB=30°，∠DCA=∠BAC.

又∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠DCA.

∴AD=CD.

在Rt△DEC中，∠EDC=30°，

∴CD=2CE=2BC.

∴AD=2BC.

综上所述，直角三角形中30°角在实际计算和证明时发挥的作用非常明显.鉴于该知识点比较基础，很多学生掌握得较好，所以本文没有特别深入挖掘，只是重点分析了30°角如何构造.当然，构造方法不局限于此，还有待于后期进一步研究.