基于理解的概念课教学实践与思考*——以“平方根”教学为例

江苏省宿迁市宿豫区新庄中心学校

汪东松

南京师范大学附属中学宿迁分校黄海路校区

李 军

1 问题提出

《义务教育数学课程标准(2022年版)》的正式发布，确定了数学课程的目标是发展学生的数学核心素养(主要包括“三会”).数学概念教学是数学教学的核心，与学生数学核心素养的发展息息相关，其成效直接影响到学生的学习效果.但实际教学却不尽如人意，部分教师依然采用“概念+注意+刷题”的形式进行教学，忽视课标及教学要求，忽视学习现实，忽视概念本源，忽视探究过程，等等，导致学生对抽象概念的理解困难，建构内化受阻，深感学习枯燥无趣，教学效果大打折扣.基于此，现结合苏科版“平方根”教学为例，着力探讨如何实施概念课教学，进而深度理解概念教学，带领学生“入乎其内、出乎其外”，挖掘概念内涵与外延，内外关联，类比迁移，意义建构，实现数学概念教学对学生素养发展的价值[1].

2 相关概念的理解

杜威(John Dewey)在《我们如何思维》一书中对理解做了清晰的总结，认为理解是学习者探求事实意义的结果，“掌握一个事物、事件或场景的意义，就是要观察它与其他事物的联系，观察它的运作方式和功能产生的结果和原因以及如何应用.”“方法和结果的关系是所有理解的核心.”在数学学习中，理解无疑是首要的.例如，学生到底是理解了还是没有理解，是部分理解还是全部理解，理解的深度如何，等等.

追求“概念性理解”的教学，要求教师不能只关注知识表象而忽略了对知识本质的探求.而当前许多课堂教学中，许多学生在数学学科上耗费大量时间和精力刷题，缺少知识的意义建构,缺乏数学思想方法的理解.有些数学课堂中，教师的“匠气”太浓，题型、技巧太多，弥漫着应试的“功利”.以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学教学的正轨，数学育人的价值得不到充分体现.

3 教学设计与教学实施

数学根本上是玩概念的，不是玩技巧[2].教学中，要围绕概念教学，遵循理解课标要求、理解学生学情、理解教材系统、理解教学程序，寻找概念的前世今生未来，追本溯源；以问题导学，不断追问，挖掘本质，回归本真.教学思维路径从模糊到清晰，从盲点到亮点，让概念课教学理性开通.

3.1 理解课标要求

课标是专家们集体智慧的结晶，是指导教学的纲领性文件.数学概念课教学要达到深度教学状态就必须对课标达到较高的理解层次.就“平方根”教学而言，课标给出了内容要求、学业要求及教学提示[3](如图1).

图1

3.2 理解教材编排

“平方根”是义务教育教科书数学八年级上册(江苏凤凰科学技术出版社)第四章第一课时内容.从运算过程看，求解过程是开平方运算，它是数的开方运算的重要基础与代表；从结果上看，扩充了数的范围，丰富了无理数的内容与表达，深化了学生对无理数的认识与理解.

教材以计算直角三角形的边长为情境，引导学生感悟研究“数的开方”的必要性，激发学生探究欲望.接着，课本顺理成章地给出平方根、算术平方根的概念.很自然地让学生明白“为什么学、学什么”等问题.同时，教材沿用类似(类比迁移)的过程，给出立方根、实数等概念，可谓是举一反三.

平方根，尤其是算术平方根，是本章的重要概念，也是学习的一个难点，对后续学习“二次根式”有着重要影响.为了突出重点、突破难点，教材创设了现实情境或问题情境，给学生学习提供了知识“背景”和“支撑”，还设计了一些例题，以加深学生对概念本质的理解，为学生“怎么学”铺路搭桥.

3.3 理解教学程式

数学概念课教学需遵循一定之规，有其基本的程式和操作流程，只有深刻理解概念教学的基本流程才能科学设计，有针对性地施教.数学概念课教学一般要经历以下几个过程：(1)情境引学.(2)本质抽象.通过典型、丰富的具体例证(要让学生自己举例)，引导学生开展分析、比较、综合等活动，概括共同本质特征，得到概念的本质属性.(3)定义提出.用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成.(4)概念辨析.即以实例(正例、反例)为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考查.(5)概念应用.用概念作判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判断的具体步骤，并运用概念进行计算或说理.(6)概念“精致”.主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构.概念教学要尽量采用归纳式，给学生提供概括的机会.其设计程式整合成图示，如图2所示.

图2

3.4 课堂教学实践

3.4.1 在情境引学中理解概念的本源

情境引学：先算后想，由已知到未知.

问题1计算：32=，(-3)2=，02=.

问题2(课本之问)如图3，小方格的边长为1，你能算出图中AB，A′B′的长吗？

图3

师生活动：

(1)说.请三位同学说出运算结果，并说出乘方的意义及有关概念.

(2)写.请你类比问题1，再任意写两个这样的算式并计算出来与大家分享.

(3)算.分组计算问题2，是否有困惑的地方？

(4)议.通过计算，你有什么发现？请分享你的想法.

(5)问.从运算对象上来说，问题1,2有何联系与区别？(小组交流)

(6)引.问题1是前面学过的平方运算，即已知底数和指数求幂；问题2的求解对象反过来了，即已知指数和幂求底数，而且从问题2的第2个图知道，边长是客观存在的，但不知道是什么、叫什么、怎么写等，那么问题该怎么解决呢？(形成悬念)

教学理解：情境引学中设置了两类问题，问题1主要从数的运算帮助学生回顾乘方的知识；问题2主要从形的角度，让学生发现求解底数的客观存在，感知求解对象的变化.一方面让学生深刻体会学习“数的开方”的必要性，明晰平方根的本源在“平方”，是由平方运算派生而来；另一方面也打通了知识间的联系.创设情境时，立足学生的最近发展区，关注知识间的内部联系，从正反两方面揭示事物的本质，让学生经历从已知到未知的认知过程，从而诱发学生强烈的学习动机.

3.4.2 在探究经历中理解概念的生成

概念的形成和同化不是一蹴而就的，而是让学生具身参与，经历探究过程慢慢习得的.

探究1填空：( )2=9，( )2=4，

学生先独立思考，写出结果，再小组交流，互议互评.

探究2形式化抽象

第1次形式化：让学生依照上述计算形式再举两个例子，并思考这样的例子是否举得完，从而引出可以用字母表示数(字母具有一般性)，如学生举出x2=16，x2=121，…….在求解过程中，学生常常只习惯性得出正值，而丢掉负值，此时需要教师引导，让学生吸取经验教训——由平方数求底数时，解不唯一.

第2次形式化：学生发现问题2中求A′B′的长，也就是相当于求x2=41中的x，还有学生举出x2=8，x2=3，等等，学生思维又一次被打开.因此，学生说这样的例子是举不完的，需要用字母表示.(教师给予表扬肯定.)师生共同探究中得出，上述所有问题可用一个式子来概括，即x2=a.

探究3提炼属性

(1)字母取值探究.对于式子x2=a，它具有一般性特点，也就是说字母代表了一切数.请学生思考“若x2=-1，则x的值是多少？”由此让学生自己发现a的取值范围是a≥0,并明白没有一个实数的平方是负数，所以a是非负数.

(2)概念生成.上述问题其实就要研究“当x2=a时，x是什么数？”的问题.这一类问题就是已知指数和幂求底数的运算，这种运算叫开方(开平方)运算，它与乘方是不同的，它们是互逆运算.因此，名称上要有区别，于是需要生成新概念.对“谁”开方呢？当然是a，所以a就是被开方数(如上面的16，121，41，8，3等)，x就是a的平方根(如±4，±11等)，2还是指数位置，叫做根指数，从而揭示课题，并留有认知冲突——41，8，3的平方根是什么？

教学理解：概念的本质抽象是较难理解的.教学时，采取了问题驱动、分步推进的策略，结合学生对平方的认知，先分析乘方中所关注的对象有三项，即底数、指数、幂，当指数确定，以前是知底数求幂，同样，知幂也可以求底数.研究对象的变化，需要生成新的概念.这里对具体例子进行探究，逐步抽象，揭示问题本质，生成新的知识，一步步引入课题，挖掘概念内涵.

3.4.3 在认知冲突中理解概念的表达

根据上述认知冲突和知识发展需要，让学生自主阅读教材，理解定义，学会表达(这里主要是文字语言与符号语言及其相互转化).教学时，先让学生分享自学情况，让学生学会表达：(1)概念凝炼(文字表述)；(2)符号表示(让学生写与读)；(3)语言转换理解(举例解读).教师适时引导启发，并对学生的表达从三个方面进行类比概括，加以板书呈现(如图4).

图4

教学理解：组织学生自主学习.通过小组展示、补充、纠错，经历概念的形成；通过类比思维图，让学生学会表达，系统梳理概念，由感性认识到理性建构.

3.4.4 在辨析应用中理解概念的性质

(1)从正反两个方面辨析概念.判断：9的平方根是3( )；3是9的平方根( ).

(2)问题再现.根据定义填空：

①41的正的平方根是，41的负的平方根是，41的平方根是；

(3)小组交流.下列各数有没有平方根？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.(教材内容)

从中你发现了什么？

(4)发现性质.

①一个正数有个平方根，它们互为；②0有个平方根，是；③负数平方根.

(5)概念升华.已知一个直角三角形的两边的长分别为3和5，求第三边的长.

教学理解：教学中让学生充分展示、积极参与、主动探索，经历观察发现、类比分析、思考归纳、有序表达等活动，让其理解概念本质，内化知识，形成能力，建构起自己的知识经验体系；培养手脑并用意识，形成模型观念，提升理解能力与运算能力.同时，做到形数结合，首尾呼应，形成完整的教学闭环.

3.4.5在类比联系中理解概念的结构

回顾反思学习历程，帮助学生理清学习内容与思路，深化对知识的理解与掌握，进而走向概念的精致.

(1)平方根学习反思：平方根的概念、表示、性质及其应用.

(2)方法经验积累：学会数学抽象、符号表达、建立模型，体会分类与类比、整体思想、一般化思想等.

(3)形成认知结构：平方(幂)↔开平方(平方根)↔开立方(立方根)↔开n次方(n次方根).

教学理解：通过回顾与反思，让学生梳理概念的学习路径，不断同化概念，使之纳入自己的认知结构.同时，引领学生从整体上再认识概念，做到整合贯通，举一反三，学会类比迁移，为后续学习提供智力支撑与帮助，进而形成良好的学习力，提升数学核心素养.

4 教学思考

本课是实数学习的第一课时，应让学生充分观察感知、动手计算、实践体验、归纳概括，体会平方根概念的形成过程.在学生理解知识的基础上，引发学生批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，作出决策并解决问题.

4.1 重视理解的深度——深度学习

理解的深度是指学生不仅能够认识知识的表象，更能够深刻领会知识的本质和背后蕴涵的数学思想.而学生理解的深度取决于教师是否能够洞悉知识的源头,从知识发生的历史脉络中把握其产生的原因、本质和价值.例如，在平方根的学习中，要让学生理解，先通过平方的学习，进而变换求解对象.让学生经历“为什么学，学什么，怎样学，又学向何处？”这样，学生就能深度理解知识的来龙去脉，并用数学符号语言来表达，进而形成高阶思维能力.

4.2 拓展理解的广度——深化建构

4.3 明晰理解的完整度——深入思考

理解的完整度是指能够对知识之间的内在关联建立清晰的印象并建构完善的知识网络.理解的完整度是建立在对知识整体结构清晰把握的基础上.对“平方根”这个概念的理解比较透彻，就意味着理解了它的内涵和外延，了解这个概念的“前世、今生与将来”，了解它在立方根、无理数、实数或解决实际问题中的作用，感受它是学习二次根式的重要基础.引导学生自主将知识结构化，形成概念网络和体系，网络的结点和通道越丰富，说明概念内容就越完整，思考理解就越深刻.这样，学生就能够在解决问题的过程中迅速有效地提取关键性知识，打通学习脉络，进行知识的自主建构和类比迁移.