生长中发现 发现中生长——以折叠问题为例

内蒙古包头市昆都仑区教育教学研究中心

吴宝岩

传统“教学中对问题的解决只是展现解法、展现思路，但对思路的寻找过程以及为什么要这样解决、怎样想到这样方法的动态思维重视不够，对解决问题中思维与策略的自然性与合理性揭示不够.”[1]下面笔者以折叠问题为例，谈谈运用生长数学教学理念，让学生在解决问题中生成动态思维的一些思考.

1 “找准生长点”和“选好生长路径”

1.1 常见“点对点式”问题呈现

图1

原题1(2014安顺)如图1，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为.

这是一道典型的折叠问题，学生只要发现BE=DE(或由教师启发得到)，运用勾股定理计算就可以得到答案.

解：设DE=x，则AE=8-x．

根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD．

因为AD∥BC，所以∠CBD=∠ADB．

因此∠EBD=∠EDB．于是BE=DE=x．

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得

x2=(8-x)2+16.

解得x=5．

故DE=5.

通常在接下来的教学过程中就会进行类似问题的变式训练，以求通过刷题获得解题技能.

本题的解题关键在于发现“BE=DE”这一特殊关系，或者说这一类问题的解题模式是“先发现结论，后计算答案”，即“先定性分析、后定量分析”.“发现结论”进行定性分析就是学生动态思维生成的过程.既然“发现结论”比“计算答案”更重要，不妨把问题设置为开放式问题，让学生去“发现”，在“发现”中学会思考，在“发现”中摸索解决问题的方法，在“发现”中生长自己的数学.

1.2 “定性把握与定量刻画”[2]

改变问题情境，设置“生长点”，“选好生长路径”，以“发现”为课堂主旋律.重新设计教学如下：

原题1改编：如图1，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E.

(1)根据已知条件，你能发现哪些等量关系？(先定性把握)

(2)若AD=8，AB=4，则可以计算出哪些量？(后定量刻画)

先只出示并研究第(1)问：根据已知条件，你能发现哪些等量关系？

图2

学生在独立思考后，得到△ABE≌△C′DE,进而得到BE=DE(△EBD等腰三角形)，AE=EC′(△AEC′等腰三角形)，更有学生提出如果连接AC′，如图2，能得到AC′∥BD，∠AC′E=∠EBD，∠C′AE=∠EDB，△AC′E∽△DBE等结论.

在学生发现了诸多结论后，再给出第(2)问：若AD=8，AB=4，则可以计算出哪些量？

图3

“先定性分析、后定量分析”既是生长点，也生长路径.

2 解决折叠问题的几种策略

2.1 将原来的单一问题设计成开放性问题

学生在思考问题时，如果不受问题约束，思维会更发散、更开阔.学生连接AC′，CC′后，能发现、验证AC′∥BD, 并且能计算出AC′，CC′的长等“新结论”，足以说明问题，且在求解CC′长的过程中一题多解，方法灵活多样.学生对两个定点所连线段的位置与数量的确定性有了认知，使得以往“点对点式”思维变为“点对面式”发散思维，这对今后解题将带来巨大的影响.

2.2 设置阶梯，让无意注意向有意注意转化

针对原题1改编题的第(1)问，大部分学生都可以发现“新结论”，最容易被发现的是边和角的条件，其次是三角形以及三角形全等、相似等.教师引导学生根据获得条件的先后和难易梳理分析问题的思维链条：

学生在教师引导下，思考问题从无意注意向有意注意聚焦思维.

2.3 改变问题结构，探究新的结论

运用发现法引导学生“发现”解决问题的一般规律：先定性分析，后定量计算.这个顺序也是我们解题中经常用到的，即先根据题目的已知条件分析可能得到的潜在结论，然后在诸多“新结论”下重新组合条件来深入分析问题.在图3中，如果能够分析出两个三角形相似或者可用勾股定理时，就可以结合给定的数值进行计算.同样，我们针对原题2做相应改编.

图4

原题2(2019大连)如图4，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为．

原题2改编：如图4，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.

(1)根据已知条件，你能发现哪些等量关系？(先定性分析)

(2)若AB=4，BC=8，则可以计算出哪些量？(后定量分析)

如图4，学生发现△AEF是等腰三角形.

如图5，若连接AC,交EF于点O,则△AFO和△CEO全等，且AC和EF互相平分.连结FC，如图6，于是有四边形AECF是平行四边形.

图5

图6

图7

图8

也有学生指出，求DD′的长可以借助△DD′F和△ACF相似来实现，△DD′F和△ACF都是等腰三角形且对顶角∠D′FD=∠AFC.但马上有学生指出，点C，F，D′三点不一定共线，即∠D′FD=∠AFC不能成立.有学生补充：△AD′F和△CDF全等，∠AFD′=∠CFD，而点A，F，D三点共线,可知点C，F，D′三点共线，所以∠D′FD=∠AFC.

“一石激起千层浪”， 对于学生连接AC和DD′，通过证明AC∥DD′来计算DD′长的过程中出现的关于三点是否共线的问题，虽是小意外，但却引发学生更深层次的思考.原题2改编题的教学设计初衷本来是模仿原题1的改编题训练思维，不曾想学生的思维一旦被激活，就像飞出牢笼的鸟儿，在数学的天空中自由翱翔！

2.4 课堂教学的终极目标是发展学生思维

对于学生连接AC和DD′，通过证明AC∥DD′来计算出DD′的长这个新发现，教师及时引导设问：你是怎么发现AC∥DD′？学生结合原题1改编题第(2)问中连接AC′后发现AC′∥BD，从而在图8中猜想AC和DD′是否会平行并设法证明.对于DD′长度的计算，虽然与计算AC′长度的方法不同，但由于点D和点D′的位置确定，所以坚信必定有办法能计算出来.

至此，开放性问题的设置充分释放了学生的思维，发散、发现的触角无所不往.发现法教学的模式让学生打开数学的大门，在数学的天地里自由驰骋，不断发现新的结论，再加之教师追问“怎么得到的”“怎么想到的”更是让学生进入大彻大悟的境界.

布鲁纳认为，学习知识的最佳方式是发现学习.这就要求在教学过程中实现由教师的“教”转变为学生的“学”，由“寻求单一答案”转变为“发现可能的结论”.这样一来，就将传统教学中解决单一答案的“点式”问题变为解决“面式”的开放性问题，学生在教师的引导下独立分析探究、发现结论、掌握原理和规律.

由此，创设情境，给学生探究的时间和空间，思维的空气、水和土壤，就能发现数学、生长数学.数学课堂经过这样的设计，才能真正发展学生核心素养.