重视概念生长过程 搭建单元知识框架——“认识分式”(第一课时)教学设计与思考

广东省深圳市龙华区博雅实验学校

管志刚

“数学概念是产生数学知识的基础，是提炼数学思想方法的平台，是积累数学活动经验的载体，是数学学习的内核.”[1]数学概念的教学过程，为培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界提供了得天独厚的平台.所以，数学概念的教学，要重视概念的生长过程，凸显概念的必要性、必然性和合理性.本文是笔者执教北师大版“认识分式”第一课时的教学设计，以及对概念教学、单元统领教学的几点思考，与大家探讨.

1 教学内容分析

分式和整式都属于代数式，它们之间有着密不可分的联系和本质上的区别.二者定义的方式是否一样，学习的思路是否一致，性质和运算方法是否相同，等等，这些都等待着学生去学习和探索.生长数学教学主张认为，分式概念的主要属性有：(1)分式表示除法运算(也可以表示成带有分数线的形式)；(2)被除数和除数都是整式(分子和分母都是整式)；(3)除数中含有字母(分母中有字母).因此，本节课教学的关键就是要通过问题情境，让学生抽象出分式的数学属性，并在此过程中，让学生感受概念的生长过程、感悟建立此概念的必要性和必然性.

2 教学活动设计

环节一：导入新课

问题1已知长方形的面积为7 cm2，宽为3 cm,则长方形的长为cm；若宽改为bcm,则长方形的长为cm.

问题2已知长方形的面积为acm2，宽为bcm,则长方形的长为cm；若宽增加2 cm,则长方形的长为cm.

图1

问题3如图1，矩形被一直线分成面积为pcm2和qcm2的两部分，对应的边长分别为xcm和ycm，则矩形的宽为cm.

环节二：概念生成

问题5你们能否再写一些满足这些特点的代数式呢？

问题7这样的例子有无数多个，我们该怎么刻画这些特点？

问题8像这样的式子我们称为分式，那你现在能给分式下个定义吗？

环节三：概念辨析

问题9下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？

设计意图：问题9是第五个环节——“再辨析”.“再辨析”是根据概念的内涵与外延，帮助学生进一步认清概念的本质，以便学生应用概念解决问题. 在这个环节中，教师可设置一些稍有难度、迷惑性较强的代数式让学生辨别.

环节四：拓展探究

问题11在问题10中可以发现，分式的值可以是正数，也可以是负数.分式的值可以为0吗？

设计意图：问题10旨在让学生了解分式，它的值是随着字母的取值变化而变化；问题11旨在让学生自主发现分式值为0的条件；问题12旨在引导学生自主探索分式有意义的条件.之后，教师还需要引导学生发现之前仅从形式上定义分式是不完善的，必须加上分母不为0这个条件.因此，我们用“样子”+“条件”的方式定义分式，二者缺一不可.

环节五：针对训练

环节六：结构统领

问题13小明和小红计划周末去广州长隆欢乐世界游玩.已知深圳到广州的距离约为140 km， 小明选择自驾前往，汽车的平均速度为xkm/h，小红选择高铁出行，高铁的平均速度是汽车的3倍多10 km/h.小明和小红同时出发，小红比小明提前一小时到达广州，求汽车和高铁的速度分别是多少？

设计意图：引导学生在解决实际问题中抽象出新的模型——分式方程.继续求方程的解，则有必要先学习分式的性质和四则运算，这样就能很好地统领整个章节的知识，搭建知识生长的框架.同时，教师还可以引导学生类比整式的学习，发现分式的学习套路和整式的学习套路一脉相承，加深学生对于代数式学习的理解.

3 活动设计的思考

3.1 概念自然生成是概念学习的根本所在

本节课通过“给例子—找属性—再举例—下定义—再辨析”五个环节，让学生经历了概念的生成过程，感受了建立分式概念的必要性和必然性.具体来说，环节一的问题情境阐明了分式“从哪里来”，即分式是描述现实情境的一种重要模型.环节二让学生去找这些代数式的共同特点，归纳其共同的数学属性.待学生有一定的理解之后，环节三再次聚焦相同属性，让学生举出一些具有这些属性的例子.那些在“找属性”环节中没有任何发现的同学往往举不出新的例子，或者容易写出错误的例子，这些都是对属性理解不到位和不深刻的体现.厘清分式属性之后，分式的概念就呼之欲出了，用数学语言将发现的共同属性表达出来即可.教师可以先让学生大致地说一说，再细致地优化为教材中的语言.分式相对于整式而言有一个特殊的地方，就是分式在字母赋值的时候可能会导致分式无意义，因此在分式的概念中必须补充这一点，这是概念“精致”的过程.因此，笔者认为概念教学一般要经过大致地描述、细致地优化、精致地补充三个过程.

3.2 巧设问题情境是知识构建的重要途径

教学是提出问题、解决问题的持续不断的过程，提问是课堂教学的主要形式，也是师生交流的重要途径.教师提问，学生作答，这看似平常的教学环节却关系到课堂教学是否有效、实效、高效.数学课堂上，高质量的提问是学生参与课堂、理解数学概念、参悟数学本质的重要途径.

3.3 搭建知识框架是点睛之笔

本节课是章节的起始课，在一定程度上起着承前启后、开山引路的作用.教师在教学时要对整章内容做一个提纲挈领式的“预览”，搭建知识框架，使学生在开展后续的学习之前对整章内容有一个全局认识，起到统领全章的作用,避免“只见树木，不见森林”[2].所以本节课在利用分式解决实际问题的环节中，学生抽象出一个新模型——分式方程.而学生在求解分式方程的过程中，会意识到要先学习分式的性质和运算才能解分式方程.通过这样的设计，学生就能了解本章所有知识的建构过程，整体把握知识间的逻辑结构.同时，教师再加以引导，将 “现实情境—定义—性质—运算—应用”的学习模式和有理数、整式的学习模式统一起来.这样的引导对学生数学学习能力的培养、学习兴趣的提升的和探究精神的养成等都有一定的价值.