用构造法解答一类函数值域问题的思路

李力

构造法是解答数学问题的常用方法，通常需结合 题目中所给的已知条件，构造出合适的函数、不等式、 方程、几何图形、向量、三角函数等模型，以从新的角 度寻找到解题的方案.下面主要探讨一下如何巧妙运 用构造法，来求解一类含有根式的函数值域问题.

本题与例3相似，均为无理函数的值域问题，不同 的是根号下面的函数式是一次函数，但双变量换元法 依然奏效，只不过問题变成了抛物线问题.当然，若用 一个新元去替换本题中的根式，也可以解题.而这里采 用双变量换元法，却可将问题转化为解析几何问题， 通过数形结合法，就能快速求得函数的值域.

可见，对于这类含有根式的函数最值问题，通过 巧妙换元，即可把函数最值问题转化为解析几何中的 直线与圆的位置关系问题，通过数形结合，求得函数 的值域.

本题中根式内与根式外的函数都为二次函数，于 是引入变量 m、y，先进行双变量换元；再将函数式移 项、平方、变形，构造出两个曲线的方程，将问题转化 成了抛物线与椭圆的位置关系问题；最后采用数形结 合法求解.

由此可见，解答含有根式的函数值域问题，可采 用以下思路：

1.引入双变量，将根式用变量替换；

2.将函数用新变量表示出来，并构建关于新变量的关系式；

3.挖掘新函数式和关系式的几何意义，将问题转化为两个曲线之间的位置关系问题；

4.画出相应的几何图形，结合图形讨论两个曲线之间的位置关系，据此确定临界的情形；

5.建立新关系，求出函数的值域.

在采用常规方法解题受阻时，同学们要学会变 通，灵活地运用发散思维，另辟蹊径，合理构造出恰当 的数学模型，将问题进行合理的转化，从而从不同的 角度找到解题的思路.

（作者单位：甘肃省徽县第一中学）