巧用导数法，妙解三角函数题

陆慧洁

丹丹三角函数是一种简单基本初等函数.有时我们會遇到一些较为复杂的三角函数问题，如含有指数式、 对数式、高次幂、多种类型函数的积式等，这时采用常 规方法求解，很难快速获得问题的答案.此时不妨运用 导数法来解题，可达到化难为易的效果.下面，结合实例 探讨一下如何巧妙运用导数法解答三类三角函数问 题.

一、三角函数单调性问题

三角函数的单调性问题十分常见，常见的命题形 式是根据已知三角函数式，求函数的单调区间，或判 断函数在某区间上的单调性.在采用常规方法解题受 阻时，可考虑运用导数法.首先对三角函数式求导，并 令 f′（x0） = 0 ，求得其零点；然后用零点将函数的定义 域划分为几个子区间，并在每个子区间上讨论导函数 f′（x）与0 的大小关系；再根据导函数与函数单调性之 间的关系进行判断：若在某个子区间上 f′（x） < 0 ，则 函 数 在 该 区 间 上 单 调 递 减 ；若 在 某 个 子 区 间 上 f′（x） > 0 ，则函数在该区间上单调递增.

一般地，若函数 f （x） 在 x0 的左侧单调递增，右侧 单调递减，则 f （x0） 是函数 f （x） 的极大值；若函数 f （x） 在 x0 的左侧单调递减，右侧单调递增，则 f （x0） 是函数 f （x） 的极小值.因此求函数的极值，关键是判 断导函数在零点左右两侧的符号.

从上述例题中可以看出，运用导数法求解三角函 数问题的思路较为简单，但解题过程中的运算量较大. 因此，一般可在解题受阻时，考虑运用导数法来解题.

（作者单位：江苏省常州市北郊高级中学）