初中数学知识域结构化的再思考

【摘 要】知识结构化视域下的知识域再思考，是以数学知识主题为载体，以适应学生进行数学认知为路径指向的。学生在数学学习过程中，通过建立同质结构的知识域，可以准确地对学习素材进行辨识，找到贴合自身需求与数学知识之间的认知联结域。教学中以“知识相近”“层级派生”“隐性同质”等三种不同方式构建“知识域”，可以映照学生的数学思考，形成助推数学认知的新动能。

【关键词】知识域；结构化；适应学习；深度学习

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）11-0051-05

学生的数学思考能否有效且快速发生，取决于自身是否适应所建构的知识储备与以此建立的结构化的知识载体。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“学业质量描述”部分将“以结构化数学知识主题为载体，在形成与发展‘四基’的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等”作为评估学生核心素养达成及发展情况的重要方面。“知识域”是基于数学知识的情境场域，对知识域的结构化不只是对数学知识的建构，而是对以数学知识主题作为载体的“知识域”进行再次建构。对知识域进行再建构，可以有效呈现学生数学思考的思维路径，形成助推学生数学学习的新动能。

一、学生“知识域”构建现状

（一）横向知识各自独立

面对知识，不同学生的处理方式与处理结果是不同的。学有困难的学生，通常不会思考知识之间的联系，在这部分学生的认知中，知识是各自独立的，他们意识不到客观知识之间是存在着密切关系的。那么在面对数学问题时，由于所面对的问题信息的获取与处理得不到响应，长此以往，这部分学生就会对数学学习产生排斥情緒。

例如，在面对方程应用题时，学有困难的学生会认为已知量与未知量之间是不存在联系的，更不知道如何利用等式表示它们之间的关系。从知识层面来说，设未知数、表示代数式、列等量关系式等步骤都体现出数学知识之间应有的联系，学生若是不具备这样的意识，数学思维的“进场”将难以启动。

（二）纵向知识不成结构

相当多的学生在进行数学学习时，很少关注知识之间的纵向关系，也就是知识之间的层级派生关系。在他们的认知中，只要掌握一节课的知识点，能用这些知识点解决当堂课的问题就行，至于这些知识的生成、发展过程，是不需要去考虑的。甚至，一些教师的课堂设计对层级派生关系关注也不够。

例如，在人教版教材九年级上册“中心对称图形”这一节内容中，中心对称图形矩形、菱形、正方形等可以由一个三角形绕其某一顶点或某边中点通过旋转运动得到，这展现了知识间的派生关系。当学生不具备这样的认识时，解决问题就缺少知识结构，思维“进场”就会慢。

（三）知识本质辨析不明

学习行为的结果是受到许多因素影响的，除了环境与人为因素，更主要的是知识本身。很多学生被知识之间错综复杂的关系吸引了太多的注意力，而忽视了这些数学知识的本质是什么。

学生经常会遇到这样的情况——课上能听懂，自己做题就会错，老师稍微提醒，就茅塞顿开。究其原因，就是学生对数学知识的本质缺少认知。近年来，中考试题出现了许多运用作圆解决实际问题的题目。很多情况下，学生读完题根本发现不了这里应该运用圆的知识解题，这就是因为他们平时在学习时没有更多关注数学本质。当隐去部分问题条件时，学生难以辨析问题的本质。

二、知识域概念定位的再思考

当前，数学学习行为以建构主义理论为主要考量方式。而数学学科的特点也决定了学生进行数学知识的学习应是理性的、交互式的。尤其是知识与思维间的交互深度，更能体现出教学行为的效能。

（一）“全息思维”的内涵指向

数学教学视域下的全息思维，指从数学学习的相关知识与结构的角度来研究数学认知。运用全息思维的理论，整体审视数学教学过程与教学行为，能为学生提供数学认知的场域，并激发其思考问题的动力源。

1.认知活动的场域支持

教师要负责教学架构的建立，而学生则要在这个架构下开展学习活动，建立知识认知的有效通道。学生数学思维的发展需要教师顺着其发展方向，不断用贴近学生认知水平的问题引导学生思考、探究，将学生以往的经验和积累变为思维生长的养分。［1］

学生的认知需求与认知理论密切相关，需求是人外部行为的动力源泉。学生在进行数学学习的过程中，要能够进行自我的学习反思，用正确的方式从学习素材中获取相关信息并加以综合分析。学习方面的需求主要来自课堂教学，如何对教学进行设计与实践决定了学生的认知需求得到怎样的实现。

2.问题思考的动力源

学生若缺少思考的动力源，在对已习得的知识进行提取与整合时，就不能很好地与所面对的问题进行联系，这样的联系显得不够牢固，对问题的解决帮助不大。这种现象产生的主要原因是缺少动力源对思维进行驱动，而这个动力源是指学生所积累的数学经验。

例如，苏科版教材九年级上册“圆”一章中，揭示圆的概念是从三个维度进行的。根据九年级学生的认知水平，教师在教学中设计三种认知路径，分别是：动手操作，体会圆的形成；线型描述，抽象图形概念；集合思想，深挖概念本质。这样的教学设计深化了学生对圆的认知，帮助学生有效地建构了关于圆的概念的全息思维。

（二）知识域的概念定位

知识域指的是具有共同特征或同质结构的知识的集合。知识域的有效建构，可以为学生提供进入学习状态所需的知识环境与心理情境，为学习行为的发生提供思考的动力源。

1.要顺应学生的认知通道

如何通过情境认知对学生思维中的动力源进行刺激、挖掘，从而有效培养学生深入思考的习惯？当学生对问题进行初步的思考后，教师可根据学生理解现状，对问题进行加工变式，以形成与相关知识接近的问题结构，不让学生感到突兀。这样就可以在更大范围发展学生的思维驱动力，同时也可以对刚产生的思维方式进行一定的巩固。在经历了这样的过程之后，学生就积累了思考的活动经验，能形成自我思考的方式，并将其内化为自身的数学素养。

2.搭建学生的认知脚手架

学生从体验式训练中获得一定的问题思考方式后，以后在面对同类问题时，就具备了相应的辨别能力。这就使得学生能站在比先前更高的思维层次上去思考问题，除了对问题有了更清晰的认知，对自我思考的过程与结果也有更好的辨识与审视能力。

例如，在《数学实验手册》七年级下册“在不规则四边形中如何折出两条平行线”一节的教学中，学生通过之前的操作，已经获得了三角形折平行线的活动经验。因此，学生是在已有认知的基础上思考四边形折叠问题，从而把动手折叠过程抽象为图形变换说理的过程，再通过猜想、操作、验证、交流，从更高思维层面体会平行线判定这一知识点的数学本质。

三、“知识域”结构化的路径再透析

（一）“知识域”结构化的三种方式

1.知识相近式知识域

知识相近式知识域指的是最浅层且相似度高的知识的聚合，是基本知识与基本技能整合而成的知识域，是学生进行数学学习最基本也是认知“最先发生”的知识域。将这样的一些知识进行“建群”，可以诱发学生的学习行为，激发学生的学习兴趣。根据目标设计驱动问题，引导学生主动地展开探究思考，教师围绕驱动问题设计逐层展开的学习任务，这些任务之间有一定层次性，又相互关联，体现学习的历程与进阶。［2］

由于任务之间具备层次性与关联性，这给学生的“最近发展区”提供了必要的发展空间，使得学生的认知发展成为可能。学生在开展学习行为之前，需要必要的知识准备，而常态的知识资源是松散的，学生在进行调用和提取时效率是低下的，并且知识信息被调用的效度是不充分的，容易产生偏差、缺损、混乱等情形。经过整合的知识域是有一定的逻辑关系的，是完整且带有指向性的。

2.层级派生式知识域

数学学科的一个重要特征就是知识的派生。数学知识之间不是割裂的，知识之间是存在“等级”的，具备“派生繁衍”特征。大部分知识是纵向层级派生的，而派生的终端就是数学问题，因此，知识的纵向联想对学生解决数学问题十分重要。将大量却不同的知识点，系统、有序、指向明確地组合成知识域，可以重塑学生理解问题的思维模式。

学生的数学学习力受到多方面因素影响，最直接的就是客观的数学知识，而对知识层级的辨识能力，应是学生思维培养的起点。

3.隐性同质式知识域

隐性同质指的是一些知识表面看上去并没有相近的地方，但是具有一些隐藏的共同的特质。这些共同的特质并不是恒存在的，只有在面对某类或是某个数学问题时才呈现出来，也可以理解为即发的解题模型。这样的一些知识聚合为知识域，对学生解题有很大的帮助。

我们将同质或关联密切的知识整合到同一个知识域中，可以帮助学生找到数学知识间相互关联的思维通道，建立起可以覆盖学生思维盲区的知识架构，帮助学生认识到知识不是孤立的存在，拓宽其知识理解的外延，助推学生形成数学核心素养。

（二）“知识域”结构化形成助推数学学习新动能

1.在知识相近处助推

数学知识系统设计整合的成功与否，不只关系到学生能否顺利地进行学习，更影响了其对数学的态度。学生不同的表征方式往往反映出他们对问题理解的不同水平。教师应该鼓励学生采用不同的表征方式，并加强彼此之间的理解。学生在整合设计的架构下学习，可以从更高的视角重新审视自我的认知过程，对所学知识有更深入的理解。

例如，苏科版教材八年级下册“三角形的中位线”一节的教学中，学生在面对新知的时候，头脑中会出现中线的相关知识，但是不全面。因此，在这之前教师需要帮助学生建立关于“中”字的图形知识域，设置情境让学生自主建立知识相近的群。教师要引导学生辨析它们之间的异同，明白中位线是两个中点的知识，而其余几个知识都是一个中点，发现群内知识的区别时更要注重联系。这样，知识域的建立才能起到应有的作用。

2.在层级派生处助推

初中阶段图形部分的知识体系是公理化的逻辑体系。由若干个基本事实与一些定义，可以派生出许多定理或推论，这些数学结论再进行复杂的组合，可以产生大量的终端数学问题。例如，尺规作图派生出了图形辅助线的知识系统。

同样，在代数部分也呈现出明显的派生现象。运算法则的字母化抽象，将法则的结论提升了一个理解层次，从“等级”视角而言又增加了纵向理解的难度。但同时最基本的算理还是从加法到乘法，学生如果对法则间的层级派生不加以理解，是很难把不同的运算法则辨析清楚的。

例如，苏科版教材七年级下册“乘法公式”一节中，大量的教学实例表明，学生在学习乘法公式的时候，显得非常“乱”。分析其原因，就是运算法则的派生方式没有内化到学生的认知思维中。运算学习的梯度是从七年级上册的“字母表示数”开始的，运算法则的表现形式从学生最熟悉的具体数字演变成为用字母进行运算，这里就包含了从数值到字母的派生，学生在认知上就会出现困难。但是在学生知悉运算法则之间的层级派生关系后，在解决代数运算问题的时候，就能够辨析法则、灵活运用法则。知识域的构建可以帮助学生减轻面对运算题的畏难心理，避免出现“无从下手”的现象，也可以很好地减少运算法则使用混乱的情况，真正从认知层面助推学生解决计算问题。

3.在隐性同质处助推

隐性同质知识域可以帮助学生探索数学问题的本原，让学生初步体会到综合性探究问题分析与解决的方式，逐步形成自我理解型的解题意识，感受到不同知识系统间的差异。面对问题，需要对知识进行类比转化时，学生要注重理解所给条件的意义，紧扣本原问题，理清同质知识之间的关系。

例如，苏科版教材八年级下册“反比例函数的图象与性质”一节中，在学生已经知晓“一次函数的图象是直线”的基础上，关键是要探究为什么反比例函数图象是曲线，帮助学生理解知识背后的数学本原性问题，学会整合集合思想与极限思想。在学生完成对反比例函数图象的认知过程之后，教师再类比一次函数图象的一些基本性质，从图象间交点个数的层面更深层次地挖掘反比例函数的基本性质。

深度学习实质上是结构性与非结构性知识的建构过程，也是复杂的信息加工过程，需对已激活的先前知识和所获得的新知识进行有效和精细的深度加工。［3］当知识域介入教学活动时，能否改进学生的学习方式，不只要进行合理且有效的整合设计，更重要的是影响驱动教学模式的多种因素的优化组合。学生对于知识的认知，排除遗忘因素的影响，主要的影响来自课堂，学生很容易被一些模糊的知识、错乱的关系等影响。把知识域与认知活动进行深度融合，找到知识联结点，发展学生的思维场域，帮助学生获得数学学习的全息思维，呈现在较为优化的认知系统中，有助于学生建立认知通道，同时也有利于学生实现数学深度学习。

【参考文献】

［1］黄秀旺，谢蓓蓓.引导学生数学思维生长的问题设计［J］.江苏教育，2018（6）：37.

［2］高丛林.学习路径：基于学习者视角的教学新探索［J］.江苏教育研究，2019（1A）：69.

［3］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2016：114.

（注：本文系第34届江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖文章，有删改）

【作者简介】王雷，江苏省东海县张湾中学（江苏东海，222343）教师，高级教师。