帮助学生积累思维活动经验

徐留军 徐军华

〔摘    要〕数学思维着眼于生活经验，着手于思考过程，着力于问题解决，是在生活数学化过程中形成的一种方法性、策略性、思想性的思考方式。教师在教学中要根据问题性质的不同，选用合适的教学方法，引发学生思考，关注生活经验，更关注数学思考；关注直观经验，更关注问题本质；关注学习结果，更关注学习过程，助力学生理解数学概念、总结数学规律、形成研究方法、探究思维策略、感悟数学思想。由于思维活动经验的碎片化、个性化、隐形化等特征的客观存在，就更需要教师助力学生对思维过程进行提炼与整合、反思与总结，积淀解决问题的数学直觉和一般策略，丰富其思维活动经验。

〔关键词〕思维活动经验；提炼与整合；反思与总结；积累

〔中图分类号〕  G424               〔文献标识码〕  A        〔文章编号〕  1674-6317  （2023）  08-0121-03

著名教育家杜威先生认为，“教育就是经验的改造或改组”。《义务教育数学课程标准（2022年版）》将基本活动经验的获得作为总目标之一，提出了会用数学的思维思考现实世界的学生核心素养。小学阶段的数学思维活动经验主要是以数量关系和空间形式为研究对象，运用符号运算、形式推理、模型建构，在学习数学知识、理解数学概念、总结数学规律、解决数学问题的过程中所获得的经验。它的核心是让学生在解决不同问题的过程中形成自己的数学直觉，学会有针对性的、个性化的数学思考，提升数学素养。在此过程中，由于思维活动经验的碎片化、个性化、隐形化等特征的客观存在，就更需要教师帮助学生对问题解决的过程进行提炼与整合、反思与总结，积淀解决问题的数学直觉和一般策略，丰富其思维活动经验。

一、以生活经验为基础，提供思维活动经验的原材料

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数学源于对现实世界的抽象。这一论述可以理解成这样两个方面：数学知识源于生活的抽象，数学的研究对象是抽象的生活；生活为数学知识的学习提供了现实支撑。因此，在小学阶段特别是第一学段，由于学生年龄小，抽象思维、空间想象等能力欠缺，他们在解决定义概念型问题时，认识往往会停留在浅表，缺乏深刻性。因此，教师可以根据学生知识学习以及认知能力的需要，将数学知识与生活经验密切联系，调动学生的多感官参与实践，引发其对事物特征共性的思考和总结，经历抽象、概括的思维过程，降低对概念的理解难度。

例如：教师在苏教版四年级下册《认识三角形》一课的教学中，常常会选择以课件形式呈现大量生活中的三角形导入，引发学生对三角形外形的初步感知。但此时学生对三角形的认识往往停留在表象，是感性的，缺乏理性的、数学化的思考。接着让学生说说生活中类似的三角形，再根据刚才的直观感知以及生活中有关三角形的经验尝试画出三角形，让学生以这样的方式充分挖掘认识三角形的生活经验基础以及知识基础，完成生活知识数学化的第一步。事实上这看似飞跃的一步，其实还是建立在學生在1～2年级甚至幼儿园时期对三角形初步接触和感知的基础之上，他们并没有实现对三角形认识从量变到质变的转换，形成对三角形本质的认识。在让学生交流刚才画出的图形哪些是三角形并说出自己的想法之后，教师根据选择出来的不同三角形，引导他们用数学的眼光有意识地观察其中的数学元素（点、线段、角等）的共性，再在小组内交流，尝试用数学的语言表达。最后，通过全班交流归纳出三角形的构成以及特点，完成对三角形特征的数学化加工，从而得出结论：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

生活经验为学生认识三角形提供了思维原材料和实践经验基础，他们将生活中的三角形依据以往认识图形的经验进行抽象，运用方法的迁移，画出三角形，最后将这些感性的素材进行数学化的归纳与表达，建立起数学化的三角形概念。这样，让学生从生活经验开始，经历比较、分析等数学化的加工过程，实现理解数学概念与知识内化的目标，积累了从生活感知走向数学思考的思维活动经验。

二、以直观感知为阶梯，提供思维活动经验的垫脚石

直观感知是对周围事物直接的、表面的认识，是感性的，这种认识虽印象深刻，往往却比较肤浅，不能很清楚地理解问题的本质。通过直观感知的阶梯连接表面现象与本质特征，沟通起知识和对象之间的联系，更利于对知识的理解和建构。于是在解决特征本质类问题时，可以根据实际需要科学地利用直观感知对于本质理解的阶梯作用，经历体验、感悟的思维过程，扫除对其本质和规律的认知障碍。

例如：在学习了三角形稳定性这一特征后，很多学生对这一概念的理解仅仅处于字面上，他们觉得稳定性就是固定、不变形，并不能形成对“稳定性”的数学化表达。记得我的一个学生提出了这样的疑问：他拿出了一个焊接牢固的平行四边形，对我说这个平行四边形也很稳定，同时又拿出一个没有固定顶点的三角形，说这虽然是个三角形却并不稳定，一碰就散了。当时我心中不禁微微一颤：他为什么会这样想？细细一想，他在课堂学习过程中，应该是没有真正地理解三角形的“稳定性”，没有对“稳定性”形成数学化的本质认识，错误地将其与生活中物体的“牢固性”画上了等号。于是我拿出了用扣条做成的一个平行四边形和一个三角形模型，让他先拉一拉平行四边形模型（一拉就动），再拉一拉三角形模型，发现三角形却不动（除非力量够大把三角形模型拉坏）。他立刻就说：我懂了，平行四边形能拉动，三角形拉不动。看起来此时他对稳定性的理解已经建立起了丰富的表象，似乎比较成熟，但还是停留在固定不变形的狭隘理解上。我又拿出跟刚才制作的平行四边形和三角形一样的材料，让他再制作一个平行四边形和三角形。接着问：你能尝试用数学的眼光观察一下拉动前后图形的变化吗？（四边形的形状改变了，三角形形状没有变化）那这两个平行四边形呢？

（不一样）三角形呢？（一样）现在再想想三角形的稳定性是什么？这个问题的提出立刻就把思维从表面现象（拉不动）的体验引到对其本质属性（形状一样）的探究，促进了学生对知识本质的深度理解。他不仅知道了三角形的稳定性就是当三边确定时，形状就确定，还体会到学习要透过现象看本质。

直观感知为研究特征本质类问题提供了阶梯，学生在获得大量与数学知识密切相关的感觉、知觉等初始体验之后，通过教师的引导，经历知识认识数学化的过程，将思维从表象引入对研究对象本质的研究。这符合小学生的认知规律，破除了学生将事物表面现象与本质属性直接画等号的错误认识，降低了理解难度，促进学生深刻认知知识本质，积累了从直观感知走向本质认识的思维活动经验。

三、以逻辑推理为支柱，提供思维活动经验的“承重墙”

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：逻辑推理是数学思维的重要内容。逻辑推理通常表现在对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括。没有观察就没有发现，观察给思维提供了研究的原材料；没有比较就没有鉴别，比较可以对问题的理解更透彻；没有分析就没有认知，分析能让认识变得深刻；没有综合就没有整体，综合能解释整体和部分之间的联系；没有概括就没有概念，概念能促进逻辑思维的深入。正如鲁宾斯坦所说：“思维是在概括中完成的。”

在解决推理类问题时，可以根据所需解决问题的特点、研究对象各方面独立特征等要素，经历分析、综合的思维过程，快速地找到解决问题的思路。

例如：在苏教版五年级上册《一一列举的策略》一课的教学中，教师可提出问题：“王大叔用22根1 米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”学生独立思考后提出，列举的意图很明显地可以用“摆一摆”“画一画”及“算一算”的方法实现。接着，学生进行操作实践，通过具体的方法，感知到解决问题的关键是要知道长和宽的具体长度，再依据此数据算出具体的面积，最后通过比较，得出结论。在接下来的汇报环节，将学生的思考结果进行适当板书（选择性板书，一部分是有序列举，一部分是杂乱记录），学生通过观察和比较，大多会认同“有序列举”，但此时的认同也仅仅是建立在方便书写、方便观察的基础之上。接着，让学生在小组内交流“有序”和“无序”列举的正确率以及解题所花费的时间，突破表象深入思考“有序”和“无序”的利弊，以及对结果产生的影响。最后全班学生进行交流、总结，从而感悟应用一一列举策略带来的便利，体会策略的价值所在，进而为其后来有意识地应用策略提供可能。

四、以操作实践为模型，提供思维活动经验的方法论

荷兰籍数学教育家弗赖登塔尔指出，“学习数学唯一的方法是实行‘再创造’”。正如毛主席多次强调的，要在战争中学会战争，在游泳中学会游泳。在数学学习的过程中，教师要引导学生从自己的体验出发，启发他们遇到困难时可以适时地调整思维方向，以便形成正确的理论认识。这样，学生所获得的知识远比别人强加硬塞理解得更加深刻和透彻，对所获得的方法、策略和思想也更善于运用。因此，在解决策略提炼类问题时，要让学生充分经历解决问题的过程，并加以回顾反思，让学生经历探索、提炼的思维过程，感悟解决问题的一般策略。

例如：在《和的奇偶性》一课的教学中，教师以游戏开始，拿出一沓扑克牌（牌面数字均为偶数），让学生任意摸两张牌，如果和为奇数就能获得奖品。经历多次的摸牌后，学生发现和都是偶数，于是教师发问：此时你想说什么？学生回答：两个加数是偶数，和也是偶数。因此教师说，看来需要奇数，于是又拿出了一沓牌面全是奇数的扑克让学生去摸。学生重复多次发现结果仍然都是偶数，教师紧跟着发问：此时你又想说什么？学生回答：两个加数全是奇数，和是偶数。教师继续追问：如果你确定能获奖，应该怎么拿牌？学生回答：一个奇数一个偶数和就是奇数。这样，通过游戏的形式引发学生对两数相加和的规律猜测以及验证。游戏继续，教师让学生先猜想：如果拿三次牌，按照牌面数字和为奇数就能获得奖品的规则，有可能拿到奖品吗？这引起学生对三个数甚至更多数相加和的奇偶规律猜想以及验证，再让学生自己设计一个游戏方案：确保任拿三张（两张）牌，按照其牌面数字之和为奇数从而可以获得奖品。通过引导学生透过现象探寻数学规律，将前面小结出的规律进行提炼，总结出和的奇偶性的一般规律。完成了和的奇偶性研究之后，教师指着课题——和的奇偶性问学生：1.研究了和的奇偶性，你还想研究什么？（学生回答：商的奇偶性、积的奇偶性、差的奇偶性）2.你想怎么研究？特别是第二个问题的提出，将学生的思维一下子拉向了深入，完成了思维方向从规律探索过程到方法和策略提炼的快速转换。学生通过对刚才探索和的奇偶性的过程进行总结，积累了思维活动经验，提炼出了探索规律的一般策略——初步感知、猜想规律、验证规律、凝练提升，感悟到里面所蕴含的数形结合、归纳推理等数学思想。

实践操作给学生学习解决问题的策略提供了方法模型，他们在解决问题的过程中，经历了发现问题、提出猜想、推理论证以及回顾反思等思维过程，不仅找到了解决问题的方法，更找到了解决类似问题的方向，得到了适用范围更广的一般思维方法，提炼出策略，积累了从探索过程走向策略提炼的思维活动经验。

总之，数学思维着眼于生活经验，着手于思考过程，着力于问题解决，是在生活数学化过程中形成的一种方法性、策略性、思想性的思考方式。教师在教学过程中，要根据问题性质的不同，选用合适的教学方法，引发学生思考，让学生在体验、感悟、探索、抽象、提炼、概括等思考活动中不断提升知识的厚度、思考的广度、思想的深度。要关注生活经验，更要关注数学思考；要关注直观经验，更要关注问题本质；要关注学习结果，更要关注学习过程，助力学生理解数学概念、总结数学规律、形成研究方法、提炼思维策略、感悟数学思想，积淀数学思维活动的经验。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准.[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]约翰·杜威（Dewey.J.）.我们怎样思维：经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[3]弗賴登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995