在问题解决中习得解决问题策略——以“用圆柱的体积知识求瓶子的容积”教学为例

河南漯河市郾城区教育局教研室（462300） 赵德钊

“用圆柱的体积知识求瓶子的容积”是人教版教材六年级下册的内容，这是用转化思想解决复杂实际问题的一个典型课例。“给出了瓶子正放时一部分水的高度和倒置时无水部分的高度，求瓶子的容积”这样一个非常规性现实数学问题，对学生的思维具有很大的挑战性。笔者采用动态化的方式呈现过程，让学生在“明确问题—分析问题—制订计划—解决问题—反思回顾”的过程中习得解决复杂问题的基本策略。

教学中紧紧抓住问题情景中的三个“核心词”——瓶子的容积、转化、变中有不变，围绕六个基本问题设计“问题链”：（1）看到这个瓶子，你能提出什么数学问题？（2）不借助其他容器，还有办法求出瓶子的容积吗？（3）瓶子倒置前后什么变了？什么不变？（4）为什么用正放时有水部分圆柱的体积加上倒置时无水部分圆柱的体积就等于瓶子的容积？（5）根据大家设计的方案，现在要求这个瓶子的容积。如果让你来测量数据，你会测量哪些数据？（6）回顾解决“瓶子的容积是多少？”这个问题的过程，运用了什么研究方法？

“问题链”能够引领学生循着解决问题的路径展开深入探究，最终获得用转化思想解决复杂的不规则物体容积问题的策略。

【课堂再现】

一、创设情境，明确问题

师：今天老师将带领大家来一趟解决问题之旅。解决什么问题呢？（出示一个装有部分水的瓶子）看到这个瓶子，你能提出什么数学问题？（学生回答略）

师：你认为哪个问题最有挑战性？为什么？

生1：“瓶子的容积是多少？”这个问题最有挑战性，因为瓶子的形状不规则，不能直接求容积。

师：哪里是不规则形状？

生2：瓶颈部分是不规则形状。

师：我们学习过求不规则物体的体积，那求不规则物体的容积该怎么求呢？

【设计意图：针对装有部分水的瓶子提出问题，既是培养学生观察能力的过程，也是培养学生多角度发现问题、提出问题能力的过程。】

二、分析问题，提出计划

1.设计方案，寻找解决方法

师：小组合作设计一个“求瓶子的容积”的解决方案。请按以下三个步骤完成。第一步，议一议：解决这个问题要分几步，每步怎么做。第二步，写一写：可以写或画小组研究的问题解决方案。第三步，说一说：先进行小组交流，再推荐一名同学汇报发言。

2.交流方案，选择解决策略

组1（方案一）：先把瓶子装满水，再把瓶子里的水倒进一个量器里，测量出的水的体积就是瓶子的容积。

师：把水倒进一个量器中，这个量器可以是什么形状的？

生1：这个量器可以是圆柱形，也可以是长方体形状的，还可以用量杯直接测量。

组2（方案二）：先算出正放时瓶子中水的体积，再把瓶子倒过来，然后算出瓶子倒置时无水部分圆柱的体积，最后把水的体积和无水部分的体积加起来。

师：目前我们没有任何量杯（量筒），哪种方案更合适？

生2：采用方案二更合适。

3.整理方案，突出策略的作用

师：正放瓶子时，瓶子的容积由哪两部分组成？倒置时又由哪两部分组成？

生3：正放时是由下面的圆柱和不规则部分共两部分组成；倒置时是由不规则部分和上面的圆柱共两部分组成。

师（出示图1）：瓶子倒置前后，什么变了？什么不变？

图1 瓶子倒置前后的变化

生4：正放瓶子时，无水部分是不规则形状，把瓶子倒置后，将无水部分转化成圆柱形，同时把规则形状的水转化成了不规则形状，它们的形状发生了变化，但是体积不变。

师：正放时的不规则部分变成了倒置时的圆柱，那瓶子的容积还可以看成由哪两部分组成？

生5：左边的圆柱和右边的圆柱。

师：现在你知道为什么正放时有水部分圆柱的体积加上倒置时无水部分圆柱的体积就等于瓶子的容积了吗？

生6：瓶子正放与倒置，对应的两部分体积没有发生变化，不规则形状的部分转化成了圆柱形，这样瓶子的容积就变成了两个圆柱容积之和，问题就能够解决了。

师：这样就把我们没有学过的知识转化成了学过的知识，即可以用圆柱的知识解决问题。

【设计意图：设计方案是解决复杂问题时的一个基本方法。学生设计方案的过程能够有效暴露他们思维的漏洞，为教师了解学生原生态的思维提供素材。从“不规则形状”转化成“规则形状”，从“未知”转化成“已知”，学生经历了问题解决的整个过程，积累了转化的数学活动经验。】

三、解决问题，落实方案

1.落实方案，尝试解决

师：根据大家设计的方案，现在要求这个瓶子的容积，需要测量哪些数据？

生1：需要测量瓶子的内直径，正放时水的高度和倒置时无水部分的高度。

师：根据测量的结果，能求出这个瓶子的容积是多少吗？

出示：一个内直径是8 cm 的瓶子里，水的高度是7 cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18 cm。这个瓶子的容积是多少？

2.交流评价，及时调整

生2：3.14×（8÷2）2×7 计算的是下面圆柱形水的体积，3.14×（8÷2）2×18 计算的是无水部分转化的圆柱体积，加起来就是瓶子的容积。

生3：可以把左右两个圆柱组合起来看作一个圆柱，这样就变成了一个底面直径8厘米、高25厘米的圆柱。先求底面积，再用底面积乘高就可以了。

师：两位同学的计算方法不同，计算结果却是相同的。

【设计意图：计算的过程是对解决问题思路的具体化。对两种计算方法的解题思路进行比较，有利于深化学生的思维水平，帮助学生巩固对图形结构“变与不变”的认识，提高学生灵活解决问题的能力。】

四、反思回顾，迁移应用

1.反思回顾

师：回顾解决“瓶子的容积是多少？”这个问题的过程，运用了什么研究方法？

生1：转化的方法。

师：我们是怎样运用转化的方法解决问题的？

生2：先把不规则形状转化为规则形状，然后根据规则图形的计算方法解决问题。

师（出示图2）：其实在五年级计算梨的体积时也用了转化的方法。

图2 计算梨的体积过程

师：用同样的方法也可以解决瓶子的体积的问题。无论是不规则物体的容积还是不规则物体的体积，都可以用转化的方法解决。

2.迁移应用

师（出示图3）：这是一个底面直径为4 厘米的不规则容器（壁厚不计），你能想办法求出它的最大盛水量吗？试一试。

图3 计算不规则容器的最大盛水量

生3：这个容器平放在桌面上，最多能容纳4厘米高的水，就是求底面直径4厘米、高4厘米的圆柱的容积。

生4：我把容器分成上下两部分，下面是圆柱形，上面是不规则形状，先计算出一个底面直径4厘米、高2 厘米的圆柱的体积的一半，再加下面的圆柱体积就可以了。

师：怎样放置这个容器，才能使这个容器能盛62.8 mL的水？

生5：只有将容器倾斜着放，使容器口和水平面持平时，才能盛62.8 mL的水。

师：我们在解决问题中用到了转化的方法，你能举个例子说一说，以前解决什么问题中也用到过转化的方法吗？（学生回答略）

生6：小数乘除法是先按照整数乘除法计算的，分数除法是转变成乘法计算的。

师：这也是转化的方法。不仅图形能转化，计算也能转化。把“陌生”转化为“熟悉”，把“未知”转化为“已知”，就能解决各种复杂的数学问题。

【设计意图：反思回顾是解决问题后的必要步骤，有利于学生形成良好的反思习惯。解决问题基本策略的习得，离不开学生的自我反思和总结。反思回顾能引导学生感受转化策略应用的广泛性和一致性，有利于学生形成结构化的知识系统。】

【课后感悟】

一、在真实情境中培养发现问题和提出问题的能力

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》倡导创设真实的学习情境，建立起数学与生活的内在联系，让学生在情境中从不同角度发现并提出问题，通过梳理各层次问题，聚焦核心问题。学生自主提出的问题源于自己真实的困惑，是他们真正想研究的问题，教师经常性地引导学生多维度、多角度提出不同层次的问题，有利于学生增强问题意识，形成创新意识。

学生用数学的眼光观察生活中一个装有部分水的瓶子，自主提出问题，最后聚焦到“瓶子的容积是多少”这个具有挑战性的问题上。教师充分放手让学生讨论后选择恰当的问题解决策略，引导学生利用批判性思维思考、分析，进而设计问题解决的方案。

二、凸显转化思想，培养学生分析问题和解决问题的能力

转化策略有化新为旧、化难为易的作用，能帮助学生理解问题实质，促进学生巧妙便捷地解决一些特殊问题。在解决非常规问题的过程中，领悟转化思想的重要作用，掌握转化的基本策略，形成数学关键能力和良好的思维品质，是问题解决的价值所在。

设计解决方案是提高学生分析和解决问题能力的基本方法，以方案的形式把思考推理的过程记录下来，能让解决问题的步骤更加清晰。方案的调整优化是学生梳理思维的过程，在这个过程中，学生通过讨论经历了完整的解决问题过程。用转化思想解决求不规则物体的体积、小数和分数乘除法、图形的面积推导等是对同类知识的串联与提升，能让学生感受到转化策略的适用性与普遍性。

三、灵活应用解决问题，习得问题解决策略

非常规问题的解决是一个动态分析问题、解决问题的过程，并非一个固定的解决程序，不能机械套用。像改变形体求橡皮泥的体积，用排水法求不规则物体的体积，用倒置转化方法求不规则容器的容积，等等，学生只有抓住图形变换中的“变与不变”，自主选择策略去探索问题的解决方案，才能获得灵活运用转化思想解决问题的经验，完成对问题解决基本策略的重新建构。