巧建极坐标系，妙解圆锥曲线题

王瑞丁

圆锥曲线问题通常较为复杂，且解题过程中的运 算量较大，为了提升解题的效率，我们不妨另辟蹊径， 巧妙建立极坐标系，借助极坐标知识来快速解题.

若 P 是圆锥曲线上的任意一点，可以焦点 F 为极 点，设 |PF | = ρ ，P 到准线 l 的距离为 d ，焦点 F 到准 线 l 的距离为 p ，由圆锥曲线的定义：圆锥曲线上一点 到焦点与到准线的距离之比为常数 e（e > 0） ，得 ρ d = e . 由圖易得 d = p + ρ cos θ ，将两式联立，整理得圆锥曲线 的极坐标方程为 ρ = ep 1 - e cos θ .

当 0 < e < 1 时，曲线的轨迹为椭圆；当 e = 1 时，曲 线的轨迹为抛物线；当 e > 1时，曲线的轨迹为双曲线.

在解答圆锥曲线问题时，我们可以焦点 F 为极 点，x 轴为极轴建立极坐标系，利用圆锥曲线的极坐 标方程来解题，这样就能用 θ 、p 快速表示圆锥曲线 的焦半径、各条线段的长.

例1

解：

若采用常规方法解答本题，则需设出直线 MN 的 方程，并将其与抛物线的方程联立，运用韦达定理、弦 长公式、向量的数量积、三角形的面积公式求解.而建 立极坐标系后，即可用角 θ 快速表示圆锥曲线的焦半 径、ΔMNF 的面积，进而利用正弦函数的有界性求得 ΔMNF 面积的最值.

例2.已知 F 为抛物线 E：y2 = 2px（p > 0） 的焦点，过 F 作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，证明：四边形 ACBD 面积的最小值为 8p 2 .

证明：

以 F 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，设点 A 对应的极角为 θ ，即可用角 θ 表示各条线段 FA、FB、 AB、CD 的长.再根据三角形的面积公式求解，即可快 速解题.

例3

解：

在建立极坐标系后，即可根据圆锥曲线的极坐标 方程求得焦半径 |FA|、|FB|、|FE|、|FD| ，进而求得焦点 弦 | AB|、|DE| 的表达式，这样便将问题转化为三角函 数最值问题，利用三角函数的有界性和基本不等式就 能顺利求得最值.

例4

解：

在解答与焦半径有关的夹角问题时，运用圆锥曲 线的极坐标方程可快速建立与夹角有关的关系式.再 通过三角恒等变换化简关系式，便能直接运用三角函 数的有界性、单调性求得问题的答案.

运用圆锥曲线的极坐标方程解答焦点弦、焦半径 及其角度问题，不仅避免了繁琐的运算，省时省力，还 能有效地提升计算的效率.因此在日常学习中，同学们 既要掌握好基础知识，将其融会贯通，也要重视对二 级结论的积累，这样才能在考试时做到游刃有余！

（作者单位：江苏省邗江中学）