例谈两类数列问题的解法

韩雅雅

数列是数学高考中重点考查的内容之一.数列问 题侧重于考查同学们综合运用等差和等比数列的定 义、通项公式、前n项和公式以及性质解题的能力.常 见的数列问题有：（1）求数列的通项公式；（2）求数列 的前n项和；（3）证明数列不等式.下面主要探讨一下 两类数列问题的解法.

一、求数列的通项公式

对于简单的等差、等比数列的通项公式问题，通 常可根据等差、等比数列的通项公式进行求解.而对于 较为复杂的递推数列通项公式问题，往往需运用累加 法、累乘法、构造法等来求解.一般地，若递推关系式形 如 an + 1 = f （n） + an ，则采用累加法求解；若递推关系式 形如 an + 1 = f （n）an ，则采用累乘法求解；若递推关系式 形如 an + 1 = qan + p?q n + 1 、an - an + 1 = kan + 1an（k ≠ 0） ，则采 用构造法求解.

例1

解法1

在已知递推关系式的左右两边同除以 5n + 1 ，可得 bn + 1 - 1 = 2 5（bn - 1） ，根据等比数列的定义，即可判定数 列{bn - 1} 为等比数列.利用等比数列的通项公式求得 bn ，即可求出 an .

解法2

一般地，对于形如 an + 1 = kan + p （ k，p 为常数， kp ≠ 0 ）的递推关系式，需将其设为 an + 1 + m = k（an + m）， 用待定系數法构造出等比数列 {an + m} .对于形如 an + 1 = qan + p?q n + 1 （ n ∈ N? ）的递推关系式，可在该式的 两边同除以 q n + 1 ，将它化成 an + 1 q n + 1 = an q n + p ，即可用待定 系数法构造出数列等差数列 ì í ? ü ? ? an q n ，利用等差数列的 通项公式求数列{an} 的通项公式.对于形如 an - an + 1 = kan + 1an（k ≠ 0） 的递推关系式，可在该式的两边同除以 an + 1an ，将其变形为 1 an + 1 - 1 an = k 的形式，从而构造出 等差数列{ } 1 an .

二、分奇偶项求和问题

有些数列中的奇数项和偶数项呈现出不一样的 规律，如奇数项为正数，偶数项为负数；奇数项为等差 数列，偶数项为等比数列；奇数项为整数，偶数项为分 数；等等.遇到这种情况，通常要分奇偶项进行求和，即 根据奇数项、偶数项的规律，分两组：奇数项为一组、 偶数项为一组，分别进行求和.

例2

解：

对于这类分奇偶项求和的问题，一般需采用分组 求和法求解，即分奇数项与偶数项分别进行求和.本题 中 bn ={3 - 2n，n为偶数， 2n - 3，n为奇数， 当n为奇数、偶数时数列的通项 公式有所不同，需分 n = 2k，n = 2k - 1（k ∈ N ） ? 且 n ≠ 1和 n = 1三种情况进行讨论，运用等差数列的前n项和公 式进行求和.

不难发现，采用相应的手段，复杂的数列问题都 可以转化为等差数列、等比数列问题，或简单的计算 问题.这就要求我们在解题时，仔细研究数列各项的规 律和递推关系式的结构特征，对其进行合理的变形、 构造，以使问题得以转化，达到化难为易的目的.

（作者单位：甘肃省宁县第二中学）