解答根式函数最值问题的思路

董雪娇

含有根式的函数最值问题侧重于考查简单基本函 数的单调性、复合函数的单调性、根式的性质的应用.下 面结合一道例题，来谈一谈解答此类问题的思路.

题目：求函数 y = 3 x - 1 + 8 - 2x 的最大值.

该函数式中含有两个根式.解题的关键是去掉根 号，将问题转化为常规函数最值问题来求解，本题主 要有以下几种解法.

一、利用导数法

导数法是解答函数最值问题的重要方法.先對函 数求导；然后根据导函数与0之间的关系，判断出函数 的单调性；再根据函数的单调性求得函数的极值.一般 地，函数的极值即为函数的最值.

解：

在利用导数法求得函数的极值后，往往要将函数 的极值与定义域端点处的函数值相比较，较大的为最 大值，较小的为最小值.

二、三角换元

对于含有两个根式的函数式，可采用三角换元法 求解.先分别将两个根式或根号下的式子用新变量替 换；然后根据三角函数公式进行三角恒等变换，将函 数式化为只含有一种三角函数名称的式子，即可根据 三角函数的有界性和单调性求得最值.

解：

利用三角换元法解题，要注意根据函数的定义域 确定角的取值范围，以根据角的取值范围快速求得三 角函数式的最值.

三、构造向量

向量是解答数学问题的重要工具.在解题时，需将 函数式变形，使其与向量的数量积、模的公式等的形 式一致，据此构造出向量模型，便可利用向量运算法 则进行运算，求得问题的答案.

解：

利用向量法解答根式函数最值问题，需利用向量 的模的公式，将函数式中的根式视为向量的模，即可 根据向量的数量积公式、余弦函数的有界性，确定 α?β的最值.

总之，解答根式函数最值问题，需抓住“根号”和 “最值”两个关键信息，从导数知识、三角函数的性质、 向量公式入手，寻找不同的解题思路.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）