求动点的轨迹方程的四种方法

覃建妹

动点的轨迹问题常常出现在解析几何问答题的 第一问中.这类问题的难度一般不大，同学们需正确理 解曲线与方程之间的关系，会用方程的观点与思想， 并能根据所给条件选用适当的方法，就能求得动点的 轨迹方程.那么求动点的轨迹方程有哪些方法？下面 结合例子进行介绍.

一、直接法

直接法也叫直译法.若动点运动的条件是一些已 知的（或通过分析得出）几何关系，则可将这些几何关 系直接“翻译”为代数语言，即用含 x、y 的等式表示， 所得等式即为动点的轨迹方程.

例1

解：

本题较为简单，可采用直接法，根据题意设出动 点P的坐标，根据直线的斜率公式建立关于x、y的关 系式，即可解题.

二、相关点法

若动点 P（x，y） 与已知曲线上的动点 Q（x0，y0） 有关 联，则可采用相关点法，先列出关于 x、y 、x0、y0 的方 程组；然后用 x、y 表示出 x0、y0 ；再把 x0、y0 代入已知 曲线的方程中，便可得到动点P的轨迹方程.

例2

解：

本题中 M 随着 P 的变化而变化，于是用 M（x，y） 的坐标表示 P（x0，y0） 的坐标，并将其代入 P 点所满足 的圆的方程中，即可得到动点M的轨迹方程.

三、定义法

定义法是指根據圆锥曲线的定义解题.若动点的 轨迹为圆、椭圆、双曲线、抛物线，则可根据圆的定义， 即动点到定点的距离为定值；椭圆的定义，即动点到 两定点距离之和为定值；双曲线的定义，即动点到两 定点的距离之差为定值；抛物线的定义，即动点到定 点与到定直线的距离相等，来建立几何关系，求得方 程中参数的值，即可确定动点的轨迹方程.

例3

解：

由椭圆的定义可知点 E 的轨迹是以 A（-1，0） ， B（1，0） 为焦点，长半轴长为 2 3 的椭圆，所以点E的轨迹的方程为：x 2 3 + y2 2 = 1（y ≠ 0） .

解答本题，要先根据题意画出图形，建立线段之 间的关系 |EA| + |EB| = 2 3 > 2 = | AB| ，即可根据椭圆 的定义，将A、B视为定点，即焦点，2 3 视为椭圆的长 轴长，该椭圆的方程即为动点E的轨迹方程.在运用定 义法解题时，要关注动点的轨迹范围，以确定x的取值 范围.

四、参数法

若不易找出动点的坐标之间的关系，则可考虑借 助中间变量（参数），把 x，y 联系起来，建立方程；再通 过等量代换，消去参数，所得的方程即为动点的轨迹 方程.

例4

解：

解答本题主要采用了参数法.先引入参数，设出 Q（x，y） 、A（x1，y1） 、B（x2，y2） 以及直线的方程；然后建立方 程组；再根据韦达定理求出点 Q 的轨迹方程.

以上四种方法都是求动点的轨迹方程的常用方 法.在遇到问题时，应先分析动点满足的条件，尤其是 要善于挖掘其隐含条件；然后再选择恰当的方法进行 求解.但无论选择哪种方法，都需灵活运用数形结合思 想和方程思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题 的效率.

本文系贵州省铜仁市教科所立项课题《变式训练 在高三数学复习教学中的应用实践研究》，课题编号： 2019sj226

（作者单位：贵州省松桃苗族自治县第六中学）