解答填空题的几个“小妙招”
2023-04-09宋琳琳
宋琳琳
填空题是数学高考中的必考题型，且占比较大，因此，掌握一些解答填空题的技巧是很有必要的.那么解答选择题有哪些“妙招”呢？下面我们一起来进行探究.
一、采用直接法
所谓直接法，顾名思义就是直接从题设条件出发，经过推理、运算，求得问题的答案.这是解答填空题的基本方法，也是常用的方法.这种方法通常适用于求解较为简单的题目.在运用直接法解题时，往往要充分利用相关的公式、定理、性质等.
例1.如果一个三角形的三条边长是连续的自然数，且最大角是最小角的两倍，则该三角形的最大角的余弦值是 ；该三角形的周长是 .
解：
本题较为简单，我们只需采用直接法，根据题意设出各个角以及各条边长，并利用余弦定理建立关系式，便可通过解方程求得问题的答案.
二、取特殊值
取特殊值是解答选择题、填空题的重要方法.在解题时，需根据题意，选取合适的特殊值、特殊向量、特殊数列、特殊函数、特殊位置等，运用一般与特殊思想，将一般问题转化为特殊问题来求解，通过研究特殊情形，求得问题的答案.这样可以规避繁琐的推理、运算，有利于提升解题的效率.
例2.已知定义在 R上的奇函数 f（x）满足 f（x -4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数.若方程 f（x）= m（m >0）在区间[-8，8]上有4个不同的根，x1、x2、x3、x4，则 x1+x2+x3+x4=.
解：根据题意可设 f（x）= sin x ，画出其图象，如图1所示.
此题重点考查抽象函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性.为了便于求得问题的答案，我们需结合题目中的条件构造出满足题意的函数 f（x）= sin x .画出其图象，便可快速明确 x1、x2、x3、x4之间的关系.在解答抽象函数问题时，运用特殊值法，可化抽象为具体，这样有助于降低解题的难度.
例3.（1）在ΔABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，如果 a，b，c 成等差数列，则=.（2） cos2α+ cos2（α+120°）+ cos2（α+240°）的值为 .
解：
若采用常规方法求解这两个小题，需进行繁琐的三角恒等变换，且容易出错.取特殊值，令 A =B = C =60°、α=0° ， 便将问题转化为简单的计算问题.这样便达到了化难为易的效果.
例4.在△ABC 中，AD⊥AB，BC =3BD ，||＝1，则·= .
解：
以BC 和AD 作为基底求AC· AD ，必须要知道两个基底的夹角，但题目中并未告知.于是令||=2，即可根据题目中的其他条件求出和的夹角为，这样便可运用向量的数量积公式快速求得问题的答案.
例5.已知等差数列{an}的公差 d ≠0，且 a1，a3，a9成等比数列，则的值是 .
解：
令 an =n ，即可将数列化为特殊的等差数列，这样便可将问题转化为等差数列问题，利用等差数列的通项公式和性质，即可快速解题.
三、利用构造法
在解答数学问题时，我们经常要用到构造法.在解答填空题时，根据题意巧妙构造函数、数列、向量、几何图形等，便可将问题转化为函数、数列、向量、几何问题，利用函数、数列、向量、几何图形等知识来求解.运用构造法解题，往往要从题目中捕捉到有关的信息，构造出合适的数学模型，为解题铺路搭桥.
例6.若a = ln -，b = ln -，c = ln -，则 a，b，c 的大小关系为 .
解：
比较函数式的大小，往往要用到函数的单調性.虽然题目中没有给出具体的函数，但仔细观察题目中给出的三个代数式，就会发现它们的结构相同，于是构造函数 f（x）= ln x -x（0 四、等价转化 所谓等价转化，是指把不熟悉、复杂、不易计算的问题等价转化为另一类比较熟悉、简单、易于计算的问题来求解.最常见的转换方式有：将函数问题转化为图象问题，将三角函数问题转化为函数问题，将方程问题转化为函数问题，将向量问题转化为不等式问题，将代数问题转化为几何问题. 例7. 解： 我们将代数式进行变形，深入挖掘其几何意义，可发现 x2+y2=1能表示圆，（u -1）x -（u +1）y +2u -2=0能表示直线.于是将“数”化“形”，把问题转化为圆 x2+y2=1与直线（u -1）x -（u +1）y +2u -2=0有公共点的问题，通过研究直线与圆的位置关系，建立关系式，从而求得 u 的最大值. 例8. 解： 先通过分离参变量，把问题转化为当直线 y =a 恒位于函数 f（x）的上方时，求 a 的取值范围.只需画出该函数的图象，根据其图象的变化情形，确定函数 f（x）的最大值，即可运用数形结合思想求得问题的答案. 填空题不要求提供详细的解题过程，这给我们解题带来了很大的便利.在解题时，同学们要运用发散思维，从多个角度进行思考，寻找最简便的方法，尽可能地将问题简化，这样便可以用最短的时间得到正确的答案. （作者单位：江苏省石庄高级中学）
