谈谈二元二次最值问题的解法

兰素梅 孙海

二元最值问题通常具有较强的综合性，需灵活运用函数、不等式、方程等知识求解.下面以一道题为例，谈一谈二元二次最值问题的解法.

例题：已知实数 x，y 满足方程 x2+（y -1）2=1，求2x +y 的最值.

问题中涉及了两个变量 x、y，且 x、y 的最高次数均为二次.要求2x +y 的最值，需重点研究 x2+（y -1）2=1，将其进行合理的变形、构造，以使问题获解.

一、数形结合

通常可将一元一次代数式看作直线的方程，将二元二次代数式看作圆、双曲线、椭圆等的方程，将常数看作一条平行于坐标轴的直线.在求解二元最值问题时，可根据代数式的几何意义画出相应的几何图形，把数形结合起来，通过分析图形中点、直线、曲线之间的位置关系，研究几何图形的性质，从而确定目标式的最值.

解：

将 y =-2x +t 看作一条直线，将 x2+（y -1）2=1看作一个圆，其圆心为（0，1），半径为1，据此画出几何图形，便可根据图形中圆与直线的位置关系，确定直线的纵截距 t 取得最值的情形，进而利用点到直线的距离公式求得最值.

二、三角换元

对于二元二次最值问题，通常可将二元二次式配成为两个完全平方式，并将其与同角的三角函数关系式 sin2θ+ cos2θ=1相关联，再令 x =rcos θ，y =rsin θ ， 或 x = cos θ+a，y = sin θ+ b ，即可通过三角换元，将变量用同一个角的三角函数表示出来.再利用三角函数公式进行化简，便能利用三角函数的有界性和单调性求得目标式的最值.

解：

先根据 x2+（y -1）2=1的结构特征，令 x = cos θ，y = sin θ+1；再利用辅助角公式将目标式化成 y =Asin（ωx +φ）的形式，即可利用三角函数的有界性求得最值.

三、利用判别式法

对于二元二次最值问题，可以将其中一个变量看作参数，构造关于另一个变量的一元二次方程，即可根据方程有解得出判别式Δ≥0.再通过解答不等式求得最值.

解：令2x +y =t ，则x =（t -y），将其代入 x2+（y -1）2=1，得关于 y 的一元二次方程5y2-（2t+8）y +t2=0，要使该方程有解，需使Δ=（2t+8）2-20t2≥0，解得 t ∈[1-5， 1+]，故2x +y 的最大值为1+，最小值为1-5.

令2x +y =t ，將其与圆的方程联立，通过消元，即可构造出关于 y 的一元二次方程.再根据该方程有解，得出Δ≥0，便能利用判别式法求得最值.

四、利用柯西不等式

二维柯西不等式为（a2+ b2）（c2+d2）≥（ac + bd）2，当且仅当 ad = bc 时等号成立.在求解二元二次最值问题时，可将代数式配凑成柯西不等式的形式，就能利用柯西不等式求得两式平方和的积或两积式的平方和的最值.

解：

根据 x2+（y -1）2=1的结构，巧添因式22+12，即可构造出2x +y -1，再根据柯西不等式即可快速求得2x +y 的最值.

解法1是从“形”的角度出发，通过数形结合求得最值；解法2、解法3、解法4都是从代数的角度出发，利用相关的性质、定理等求得最值.可见，求解此类问题主要有两种思路：一是从几何角度切入，充分利用代数式的几何意义与图形的几何性质求解；二是从代数角度入手，根据各个变量之间的关系，将代数式变形或构造方程，通过代数运算，求得最值.

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）