整体化归思想在初中数学解题中的妙用

摘 要：在新课改的推动下，初中数学教学更加注重培养学生的数学素养和创新思维能力.教师在教学中不仅要传授数学知识，更要引导学生掌握数学思想和策略.整体化归思想作为一种重要的数学思想，能够帮助学生解决实际问题，提高解题效率，因此，具有广泛的应用价值.文章主要探讨整体化归思想在初中数学解题中的应用，通过对例题的分析，介绍整体化归思想的基本概念以及在数学解题中的重要性，并详细阐述了如何运用整体化归思想来简化解题过程，提高解题效率.最后总结了整体化归思想在初中数学教学中的妙用，强调了培养学生运用该思想的重要性.

关键词：初中数学；整体化归；解题妙用

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0065-03

初中数学是培养学生逻辑思维能力和解决问题能力的重要阶段.在解题中，一些思想方法的应用，能够帮助学生更好地理解和解决各类数学问题，而整体化归思想就是其中一种重要的思想方法［1］.本文旨在探讨整体化归思想在初中数学解题中的妙用，通过具体例题的分析和研究，总结出整体化归思想在简化计算、提高解题速度和解题正确率等方面的作用，以期为初中数学解题教学提供一些有益的思路和方法.

1化简代数式类问题

整体化归思想在代数式的化简中有着重要的应用.通过将代数式看作一个整体，我们可以更好地理解这个整体与已知量之间的关系，从而更加灵活地运用各种代数技巧，如合并同类项、提取公因式、配方等，将复杂的代数式化简为更加简单的形式［2］.这种思想可以大大简化计算过程，提高解题效率.

利用整体化归思想化简代数式主要包含以下几个步骤：首先，分析代数式结构，观察代数式的特点，将其分解成多个部分，并确定各部分之间的关系.其次，提取公因式或“已知条件整式”（已知条件中给出的整式，一般会给出该整式的具体值或代数值，如整式2x2+3y=5，或2x2+3y=a），将代数式中的公因式提取出来，以简化代数式.然后通过变形和化简，将代数式转化为更加简单和易于计算的形式，计算过程中可以通过各种代数技巧，如乘法分配律、结合律等来实现［3］.最后，将代数式中的各项进行运算和化简，得出化简后的结果.

整体化归思想在代数式的化简中有着广泛的应用，它可以帮助学生更加灵活地运用各种代数技巧，提高解题速度和准确率.同时，这种思想也可以培养学生的思维能力和创新能力，帮助他们更好地解决各种数学问题.

例1 提示“用整體思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数（整体）.”试按提示解答下面问题.

（1）若代数式2x2+3y的值为-5，求代数式6x2+9y+8的值.

（2）已知A+B=3x2-5x+1，A-C=-2x+3x2-5，求当x=2时B+C的值.

解析 （1）设m=2x2+3y=-5，所以6x2+9y+8=3m+8=3×（-5）+8=-7，即所求式的值为-7.

（2）由已知条件，可以进行整体配凑B+C=（A+B）-（A-C）.

代入已知条件得到3x2-5x+1--2x+3x2-5=-3x+6=-3×2+6=0，因此，当x=2时，B+C=0.点评 整体化归思想可以帮助学生将复杂的代数式或几何问题简化，从而更容易地找到问题的答案.本题难度略低，是一道培养整体思想在初中数学解题中应用的题目.先给出整体化归思想的条件，奠定解题思路，然后由易到难设计两个题目进行整体化归思想的锻炼.可根据已知条件直接进行整式配凑，最后将整式具体值代入配凑好的部分进行“整式消去”，从而得到最终答案.

2 解方程类问题

在解方程时，有时直接入手比较困难，这时可以使用整体化归的思想.将方程的某部分看作一个整体，通过转化和变形，便可以将这个整体用已知量表示出来.整体化归的思想在解决方程问题时非常重要，通过将方程的解看作一个整体，我们可以更好地理解方程的解和已知量之间的关系［4］.这种思想可以帮助我们更加灵活地运用方程的变形和化简方法，从而更容易找到方程的解.同时，整体化归的思想也可以培养我们的数学思维和解决问题的能力，使我们能够更好地应对各种复杂的数学问题.

例2 （1）解二元一次方程组5x-3y=163x-5y=0；

（2）现在你可以用哪些方法得到方程组5（x+y）-3（x-y）=163（x+y）-5（x-y）=0的解，并对这些方法进行比较.

解析 第一问中：5x-3y=16 ①3x-5y=0

②，

①×3-②×5，得16y=48，解得y=3.把y=3代入②，得3x-5×3=0，解得x=5.因此方程组的解为x=5y=3.

第二问中：

方法一 把x+y，x-y分别看作两个未知数，由（1）的结论，可知此时原方程组与x+y=5x-y=3为同解方程组，解这个方程组，得x=4y=1.

在方法一中，通过利用第一问的结论，将x+y，x-y看作整体，使用整体化归思想解题，大大简化了计算过程.

方法二 5（x+y）-3（x-y）=16 ①3（x+y）-5（x-y）=0 ②，

得到①×3-②×5，得16（x-y）=48，因此x-y=3.把x-y=3代入②，得3（x+y）-5×3=0，解得x+y=5.之后同方法一，解方程组x+y=5x-y=3，得x=4y=1.

方法二同样是利用整体化归的思想，只是没有结合第一问的结论.该方法较方法一稍显复杂，但该方法是整体化归思想的通用思想，可以推广使用.

方法三 整理原方程组，

得2x+8y=16 ①-2x+8y=0 ②，

①+②，得16y=16，解得y=1.把y=1代入②，得-2x+8×1=0，解得x=4，故原方程组的解为x=4y=1.

方法三没有用整体化归的思想，在计算方面考查细致度，计算过程需要精确拆括号，变换正负号.

点评 本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思想是消元，加减消元法和代入消元法是常用的方法.运用整体思想，把第二问中的方程组转化成第一问的方程组，简化了计算.方法三没有明显地运用整体化归的思想，而是更注重于计算方面的考查.在具体操作中，需要精确地拆括号和变换正负号，这需要一定的细心和耐心.比较这三种解法，我们可以发现方法一最为简单，方法二次之，而方法三则相对较为繁琐.整体化归思想在数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们将复杂的问题化整为零，将未知转化为已知，从而使问题更易于解决.从这三种解法中，我们可以看出方法一和方法二都运用了整体化归的思想，将问题进行了整体把握和转化，从而使问题的解决更为简洁和高效.因此，在数学学习中，要注重培养自己的整体化归思想，学会将问题进行整体把握和转化，从而更好地解决数学问题.同时，也需要注重计算的训练和提高，以更好地运用整体化归思想来解决数学问题.

例3 阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3 ①4x+11y=5 ②时，采用了一种“整体代换”的解法，将方程②变形为4x+10y+y=5，即22x+5y+y=5 ③，把方程①代入③得2×3+y=5，因此y=-1，把y=-1代入①得x=4，所以方程组的解为x=4y=-1.根据小军的解法，请你解决以下问题：

问题一 模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5 ①9x-4y=19 ②

问题二

x，y满足3x2-2xy+12y2=47 ①2x2+xy+8y2=36 ②，求整式x2+4y2+xy的值.

解析

問题一 3x-2y=5 ①9x-4y=19 ②，

由②变形为9x-6y+2y=19，得到3（3x-2y）+2y=19 ③，把①代入③得3×5+2y=19，所以y=2，把y=2代入①得x=3，所以方程组的解为x=3y=2.

问题二 3x2-2xy+12y2=47 ①2x2+xy+8y2=36 ②，由①得3x2+4y2=47+2xy，即x2+4y2=47+2xy3 ③，把③代入②得2×47+2xy3+xy=36，解得xy=2.令①-②，得x2-3xy+4y2=11.所以x2+xy+4y2=11+4xy，所以，把xy=2代入得x2+4y2+xy=11+8=19，即整式x2+4y2+xy的值为19.

点评 本题考查了整体化归思想的应用，这种方法在处理复杂问题时具有很大的优势，可以大大简化计算过程，提高解题速度和正确率.对于问题一，由于已知条件和所求结果之间存在明显的整体代入关系，因此只需要直接将所给的整体代入到结果中即可求出答案.对于问题二，需要先将原式进行适当的整理和变形，找出已知条件中的某些量的关系，并将它们分别代入到计算公式中.在进行整体代入时，需要注意两点：首先，要认真分析问题中各个量之间的关系，确定哪些量是相互独立的，哪些量之间存在某种比例关系；其次，在将已知条件中的式子进行“配凑”时，要尽可能地使代入后的式子保持对称性或规律性，以便于计算和分析.因此，整体化归思想在初中数学解题中具有广泛的应用价值，通过培养学生的整体化归意识，可以提高学生的解题能力和数学素养.

参考文献：

［1］ 杨颖.分式化简求值：整体思想巧代入［J］.初中生世界，2023（22）：46-47.

［2］ 韦小云.换元法思想在初中数学教学中的应用研究［J］.求知导刊，2023（10）：86-88.

［3］ 丁秀珍.巧用换元法助力初中数学解题效率提升［J］.数理化解题研究，2023（02）：25-27.

［4］ 戴丽丽.剖析换元法应用于初中函数问题的主要路径［J］.数学之友，2022（24）：55-57.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：肖凡（1981.12-），女，福建省漳州人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.