猜想归纳方法在初中数学学习中的应用策略

摘 要：猜想归纳法是初中数学教学中一种常用的方法，旨在帮助学生通过实例推断普遍规律，以提高他们的数学思维和问题解决能力.通过猜想归纳法，学生可以从具体实例中发现数学规律，并逐步建立數学概念和知识.文章介绍如何有效地引导学生运用猜想归纳法，培养逻辑思维、分析和解决问题的能力.同时，还会探讨如何在教学中注重数学证明和推理的过程，培养学生的严谨性和批判性思维.通过教学实践和创新，我们可以更好地应用猜想归纳法，提高学生的数学学习效果.

关键词：猜想归纳；初中数学；分析能力；教学策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0056-03

猜想归纳法是在初中数学学习中常用的方法，它可以帮助学生从单个例子中得出普遍规律［1］.通过猜想归纳法，学生可以从具体的实例中获取信息，并推断出潜在的数学规律，这样，他们就能够逐步地建立数学概念和知识.在数学学习中，掌握猜想归纳法是非常重要的，因为它可以培养学生的逻辑思维和分析能力，帮助他们更好地理解数学概念，提高解决问题的能力.本文旨在介绍如何在初中数学教学中有效地应用猜想归纳法，以便帮助学生掌握这一重要的数学思维工具.

1 数式规律中的猜想与归纳

数式规律的猜想归纳方法是数学学习中的重要思维方式.一般来讲，数式规律的猜想和归纳分为3个步骤：观察给定数字或运算式子的特点与规律；做出猜想，并通过若干个例子进行验证；通过对现象的归纳总结，描述规律的特征或者写出表达式.

通过观察和猜想，学生可以主动探索数学规律，培养他们的逻辑思维和问题解决能力.通过多个例子进行验证，并通过归纳总结，学生可以形成准确的规律描述，提高他们对数学概念的理解和运用能力.这种积极主动的学习方式，有助于学生自信地面对数学问题，并培养他们的数学兴趣.

例1 观察下面各式：

（x-1）（x+1）=x2-1；

（x-1）x2+x+1=x3-1；

（x-1）x3+x2+x+1=x4-1；

x-1x4+x3+x2+x+1=x5-1，…；

据此规律， 求 22 023+22 022+22021+…22+2+1 的个位数字是 （  ）.

A. 1   B. 3   C. 5  D. 7

解析 首先，观察题目中的规律可知： （2-1）22 023+22 022+22 021+…22+2+1=22 024-1，接着，进行猜想，2n是由n个2相乘得到，因此，其个位数字可能有一定的规律，然后进行举例验证，得到：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，因此验证得到其个位数字按照每4个进行1次循环.因为2 024÷4=506，所以22 024的个位数字是6，22 024-1的个位数字是5.

点评 本题中，根据题目的设问，进行大胆猜想是解题的关键.按照3个步骤严格执行，可以大大提升解题正确率.由于22 024是一个极大的数字，因此一定有规律可循，所以在第2步的猜想中，常规步骤为先猜想后验证，但若无思路，可先举例再总结，也不失为一种巧妙的方式.可见在数学学习中，不能“眼高手低”，多动笔多尝试才是正确的解题方式.2 图形变换中的猜想与归纳

图形变换规律可以帮助学生培养观察、思考和解决问题的能力.在图形规律的学习过程中，学生需要通过观察给定的图形，发现其中的规律和特点；尝试自己添加辅助线，通过不断尝试探索出规律；最终，学生需要用数学符号和语言来准确地阐述图形规律，并通过实例来验证.

图形变换规律的学习可以培养学生的创新思维和问题解决能力.通过观察和猜想，学生可以自主探索图形规律，并提出自己的策略和想法，进一步提高他们的抽象思维能力.此外，图形规律的学习也有利于学生了解和掌握各种数学概念和方法，为他们日后的学习打下坚实的基础.

例2 如图1所示，矩形ABCD的面积为

20 cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2 022C2 023B的面积为（  ）.

解析 因为四边形 ABCD 是矩形，所以AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，所以：

S△ADC=S△ABC=12S矩形ABCD=12×20=10 cm2；

S△AOB=S△BCO=12S△ABC=12×10=5 cm2；

S△ABO1=12S△AOB=12×5=52 cm2；

S△ABO2=12S△ABO1=54 cm2；

S△ABO3=12S△ABO2=58 cm2；

…………

所以平行四边形 AOnCn+1B的面积为 52n-1，据此得到平行四边形 AO2 022C2 023B 的面积为522 021 cm2.

点评 本题的解题关键在于找到图形每次“变换”后的规律.这道题的规律和特点较为明显，即每次得到的平行四边形，都是从上一个平行四边形的“中心”引平行线，因此，在底边长度不变的情况下，每次得到的平行四边形面积都为上一个平行四边形面积的一半.如直接观察不易察觉，则可自行添加一个平行四边形的辅助线进行规律的“体验”.

3 周长面积中的猜想与归纳

在学习周长面积规律时，学生需要关注图形的数量、形状和组合方式等特征，进而发现并做出周长或面积相关规律的猜想.最终，通过归纳和总结，学生能够得到周长或面积之间的关系，并编写公式以便计算.周长面积规律的学习有助于学生理解图形的属性，通过观察和实践，学生能够深入理解图形周长或面积的规律，同时也能够应用所学的知识进行问题解决和计算.

例3 如图2所示，在△ABC中，点E是AB边上的点，且AE：EB=2：3，点D是BC边上的点，且BD：DC=1：2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则△ABC的面积为（  ）.

解析 连接 FB， 如图3所示：

设S△BDF=a，S△BEF=b，因为AEEB=23，所以S△AEF=23b，因为BD∶DC=1∶2，所以S△CDF=2a，S△ABD=12S△ACD=16+23b，S△ACE=23（16+2a），又S△ACF=S△ACD-S△CDF=S△ACE-S△AEF，所以32+43b-2a=23（16+2a）-23b，得到10a-6b=64，因为a+b=16，5a-3b=32a+b=16，解得 a=10b=6.所以S△ABC=S△ACD+S△AEF+S四边形BDFE=32+43b+23b+16=40+20=60.

点评 本题以面积的规律为例，通过三角形“等高”时，面积比等于底边长度比，得到面积的一般规律，进而将其转化为代数式进行求解.该类猜想归纳与前述找规律类的猜想归纳有些差异，该类猜想归纳是围绕“特定条件或者性质”进行的推理，并将推理所得的表达式进行求和或者变形.其中，推理是猜想，求和或变形是归纳，在数学学习中，该类猜想归纳的技巧需要掌握.

4 点的坐标规律中的猜想与归纳

在学习点的坐标规律时，学生需要观察图形上点的坐标变化规律，特别是注意横纵坐标之间的关系，进而做出猜想并通过实例进行验证.比如，移动图形、增加点数量、改变图形形状等.最终，通过归纳和总结，学生能够得到点的坐标规律，并编写公式以便进行计算.点的坐标规律的学习有助于培养学生的观察力.通过观察和实践，学生能够发现和理解点在平面上的位置变化规律，并通过归纳总结建立起数学模型.掌握点的坐标规律，不仅对于几何学和代数学的学习具有重要作用［2］，还可以应用于实际问题的解决，如地理测量、航空航天等领域.

例4 如图4所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1）.规定“把平行四边形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样，连续经过2 023次变换后，平行四边形ABCD的顶点D2 023的坐标变为（  ）.

A.（-2 019，-3）   B.（-2 019，3）

C.（-2 020，3）D.（-2 020，-3）.

解析 由于四边形ABCD是平行四边形，

A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），所以D（3，3），把平行四边形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，得到D1（2，-3），观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3），所以对于横坐标，每次变换减1，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3，经过2 023次变换后，D2 023（-2 020，-3）.

点评 本题考查翻折变换、点坐标的规律性.先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后Di（i=1，2，3，…）点的坐标求出来，观察规律即可求解.解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解，在求解的过程中，列举实例依然是最佳的找规律的手段，由此可见，数学的学习过程并不是仅靠天赋，更多还是要依靠勤于动笔.

參考文献：

［1］ 肖伟华. 初中生合情推理能力的培养策略研究［D］.南昌：江西师范大学，2022.

［2］ 史新景.中考数学中的“归纳猜想”［J］.初中生世界，2016（31）：17-19.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：王海珠（1978.9-），男，甘肃省民乐人，中学一级教师，从事初中数学教学研究.