基于主动学习的Kriging模型的可靠性分析

翟玮昊，龚敏浩，林名润，匡婷玉，文珊珊

（上海航天设备制造总厂有限公司，上海 200245）

0 引 言

当进行结构可靠性分析时，概率可靠性模型［1］是应用最早的，研究人员对其研究最多，也是当今应用最广泛的模型。但是在实际工程领域，概率可靠性的方法在应用中仍然有着很多困难，其中最为突出的是对可靠性问题进行高效、高精度的计算。当前，很多航天结构对可靠性都有着很高的要求，在这种情况下，结构的失效概率会很小。对于极小失效概率下的结构来说，利用Monte Carlo法得到精确解需要十分庞大的计算量，在航天领域上是难以接受的。因此，使用代理模型的方法显得尤为重要。

本文将拉丁超立方抽样和基于EFF 学习机制的的Kriging代理模型相结合，利用得到的代理模型对算例进行可靠性的计算［2］，并与直接利用Monte Carlo法计算得到的可靠性进行对比分析。

1 主动学习的Kriging 模型的可靠性分析方法

本文提出的主动学习的Kriging 模型的可靠性分析方法将拉丁超立方抽样（Latin hypercube sampling，LHS）和基于EFF学习机制的Kriging模型（AK-EFF）结合，再利用Monte Carlo 法进行可靠性分析，LHSAK-EFF流程如图1所示。

图1 LHS-AK-EFF方法流程Fig.1 Flow chart of LHS-AK-EFF method

1.1 拉丁超立方抽样

在构建模型时，首先需要利用LHS 对样本点抽样。LHS 是一种随机生成均匀样本点的抽样方法，其主要特点在于可以确保生成的样本点分布在空间中的所有位置。LHS 方法对已经抽样得到的点具有记忆功能，可以确保不再抽到相同的样本点，从而提高抽样的效率。同时，它也可以对边界处的样本点进行抽样。因此，在抽样次数很少的情况下，LHS 方法可以得到相对比较高的精度。

1.2 Kriging代理模型

Kriging 代理模型由两部分组成［3］，第一部分为参数部分，这一部分是线性回归的形式；第二部分为非参数部分，是通过随机过程实现的。假设以x=[x1，x2，…，xn]T为代理模型的输入变量，y(x)为代理模型的输出响应，那么Kriging代理模型可以表示为

式中：第一部分F(β，x)为参数部分，具体可以表示为fT(x)β的形式，这部分是多项式的回归模型，f(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fnf(x)]T是关于输入变量x的基函数。正常情况下，f(x)为x的整数幂的形式，nf为基函数的数目，β为每个基函数需要求解的待定系数。在整个变量空间中，这一部分表示对整个全局模型的拟合，可以对整个待定模型做出近似估计，得到响应的总体趋势。第二部分z(x)为非参数部分，在整个空间中，这一部分用来表示模型的局部部分，对模型局部误差进行近似，即z(x)表示y(x)局部的变化。由于Kriging 代理模型和其他响应面模型相比，多了一个非参数的z(x)部分，所以在拟合的过程中更加精确。在随机过程中，z(x)服从均值为0、标准差为σ的正态分布，这一部分的协方差的矩阵为

假 设 对 于ns组 设 计 样 本X=[x1，x2，…，xns]T(xi∈Rndv) 而言，对应函数的响应值为Y=[y1，y2，…，yns]T(yi∈R)，在参数θk已知并取得特定值的时候，可以得到最大似然估计为

R是通过ns个设计样本得到的相关函数组成的矩阵，具体为ns×ns的矩阵，即

可以发现对于Kriging模型而言，相关参数θk的值对于β和σ2的估计都有影响，所以进行模型拟合前首先需要得到θk的值。一般情况下，θk的值是利用优化的过程获得的，即当φ取得最大值时，得到的θk就是所需要的θk值。

式中：|R|代表R的行列式的值。

结合以上所描述的，在获得设计样本以及样本对应的响应值以后，首先通过对优化问题进行求解得出相关参数θk，然后对Kriging 模型求解，得到模型中的待定参数值，使得Kriging模型的整个拟合结束。在得到通过拟合后的Kriging代理模型后，可以利用得到的代理模型预测未知样本点的响应值，对于未知的样本xnew，Kriging模型的最优估计为

1.3 EFF主动学习机制

为了使Kriging 代理模型拟合的精度变得更高，Bichon［4］在考虑Kriging 方差的基础上，提出了一种基于主动学习的Kriging 代理模型的可靠性分析方法。这种方法引进了特定的学习机制，对已建立的模型提供的预测值和预测的方差进行利用，确定对当前模型的拟合精度影响最大的样本点，然后将这一样本点加入到之前设计方案中，使后面的拟合的精度进一步提升。

式中：Φ(·)表示标准正态分布累计密度函数；ϕ(·)表示标准正态分布概率密度函数；a表示对y特定拟合能力的实现值。在进行可靠性计算时，需要研究的是功能函数g(x)=0 的情况，因此在这里a=0，ε=2σŷ(x)。

通过EFF 学习函数可以看出，对一个未知的样本而言，如果Kriging 代理模型预测均值越接近a的同时其方差σ2ŷ(xn)也比较大，那么这个样本的EFF学习函数值也会比较大。这些Kriging 方差比较大的样本是不满足可靠性分析的精度要求的，通过EFF 学习机制得到的样本点是使得学习函数值最大的样本。主动学习过程停止的条件是：当所取得的最大学习函数值满足学习停止的条件，并且当主动学习过程停止时，就认为此时的Kriging 模型为最优模型。对于可靠性分析来说，使用EFF 学习机制可以使得样本点的响应更准确，从而可以保证可靠性计算的精度。

对于选取的一系列备选点计算EFF（x），然后选取一个使得EFF（x）最大的样本点作为新的样本点，与原样本点一起进行新的Kriging 代理模型的构建。当满足max（EFF（x））≤0.001的条件时，学习停止，可以得到拟合效果最好的Kriging代理模型。

通过这种EFF 学习机制得到的自适应Kriging 代理模型进行可靠性分析计算，能够在保证计算精度的同时，提高计算效率。

2 算例验证

本节利用主动学习的Kriging代理模型方法，结合EFF 学习机制对线性、非线性和高度非线性的算例进行可靠性计算，并将得到的结果与Monte Carlo法进行精度和抽样次数的对比分析。

2.1 算例1

设某线性结构的功能函数为

式中：功能函数的基本变量x1、x2均服从正态分布，并且两个变量之间相互独立，其分布参数见表1。

表1 算例1中基本随机变量的分布参数Tab.1 Distribution parameters of basic random variable in example 1

利用EFF 学习机制进行主动学习，先利用LHS抽样选取10 个样本点，学习函数值在7 个新增样本点时，达到规定的停止准则，这时失效概率为0.059 194。

算例1 利用EFF 学习机制进行可靠性分析的图形化显示如图2所示。

图2 算例1中EFF学习机制的图形化显示Fig.2 Graphical display of EFF learning mechanism in example 1

将得到的失效概率和Monte-Carlo 法进行比较，表2 为利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法计算得到的失效概率的对比。可以看到，LHS-AK-EFF 法在保证计算精度的同时，其计算效率比MC 法有非常大的提升。

表2 算例1 LHS-AK-EFF法和MC法的计算精度对比Tab.2 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 1

2.2 算例2

设某结构的功能函数为

式中：功能函数的基本变量x1、x2均服从正态分布，并且两个变量之间相互独立，其分布参数见表3。

表3 算例2中基本随机变量的分布参数Tab.3 Distribution parameters of basic random variable in example 2

利用EFF 学习机制进行主动学习，先利用LHS抽样选取10 个样本点，学习函数值在14 个新增样本点时，达到规定的停止准则，这时失效概率0.034 550。

算例2 利用EFF 学习机制进行可靠性分析的图形化显示如图3所示。

图3 算例2中EFF学习机制的图形化显示Fig.3 Graphical display of EFF learning mechanism in example 2

将得到的失效概率和Monte-Carlo 法进行比较，表4 为利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法计算得到的失效概率的对比。同样可以看到，对于非线性问题，LHS-AK-EFF 法在保证计算精度的同时，计算效率比Monte-Carlo法有很大的提升。

表4 算例2 LHS-AK-EFF法和MC法的计算精度对比Tab.4 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 2

2.3 算例3

设某高度非线性结构的功能函数［5］为

式中：功能函数的基本变量x1，x2均服从正态分布，并且两个变量之间相互独立，其分布参数见表5。

表5 算例3中基本随机变量的分布参数Tab.5 Distribution parameters of basic random variable in example 3

利用EFF学习机制进行主动学习，先利用LHS抽样选取10个样本点，学习函数值在13个新增样本点时，达到规定的停止准则，这时失效概率为0.009 338。

算例3 利用EFF 学习机制进行可靠性分析的图形化显示如图4所示。

图4 算例3中EFF学习机制的图形化显示Fig.4 Graphical display of EFF learning mechanism in example 3

将得到的失效概率和Monte-Carlo 法进行比较，表6 为利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法计算得到的失效概率的对比。可以看到，对于高度非线性问题，LHS-AK-EFF 法计算效率比Monte-Carlo 法也有很大的提升。

表6 算例3LHS-AK-EFF和MC法的计算精度对比Tab.6 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 3

3 结束语

本文提出了利用少量拉丁超立方抽样的样本点对Kriging 代理模型进行拟合，并结合EFF 学习机制选出需要增加的样本点，对初始Kriging代理模型进行新的拟合，直到达到学习停止的条件，得到拟合后的Kriging 代理模型，然后利用Monte Carlo 法进行可靠性计算。通过上述三个算例可以看出，本文所提方法适用于各类线性和非线性问题［5-15］，计算得到的失效概率与Monte Carlo 法得到的结果误差在可接受的范围，在满足精度要求的前提下，极大地降低了计算时间。该方法可以应用在航天领域的结构可靠性计算中，极大地节约成本、提升效率。