基于数学学科核心素养,探索“有过程”的归纳教学——“多边形的面积”单元教学实践研究

周丽娜

一、内容的选择及依据

(一)“多边形的面积” 是小学阶段 “图形与几何” 领域重要的学习内容

“多边形的面积” 是图形与几何领域“图形的认识与测量” 部分重要的学习内容。图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是非常有用的,测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。在小学阶段,平面图形面积主要包括: 长(正) 方形面积、平行四边形面积、三角形面积、梯形面积和圆的面积。特别是平行四边形面积、三角形面积和梯形面积,这三种平面图形面积之间有着紧密的联系,也是本单元主要的学习内容。这部分内容在平面图形面积中有着承上启下的作用,是学生感受解决图形面积问题思维方式的重要阶段。通过对这部分内容的学习,一方面,学生掌握了多边形面积的计算方法,能独立探索并解决生活中遇到的实际问题;另一方面,学生在探索图形面积时每一节课积累的活动经验和运用的思想方法也为进一步探索其他平面图形的面积奠定基础。

(二) “图形的认识与测量” 这一部分内容承载着对学生推理意识的培养这一重要任务

《义务教育数学课程标准 (2022 年版) 》 指出: 义务教育数学课程应使学生通过数学的学习,形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。“会用数学的思维思考世界” 就是数学课程要培养的学生核心素养之一。核心素养在不同阶段具有不同表现,在义务教育阶段,数学思维主要表现为: 运算能力、推理意识或推理能力。小学阶段更侧重对经验的感悟,推理意识就是小学阶段要培养的主要核心素养之一,培养推理意识有助于学生养成讲道理、有条理的思维习惯,增强交流能力,更是后续逐步形成推理能力的经验基础。“多边形的面积” 这部分内容作为“图形的认识与测量” 部分的核心学习内容,就承载着小学阶段对学生推理意识的培养这一重要任务。在探索图形面积的过程中,学生逐步积累操作的经验,形成量感和推理意识,进而发展学生的核心素养。

(三)有过程的归纳教学,有利于实现学生理解多边形的面积公式及发展学生的推理意识

在推导一些常见图形面积计算方法的过程中,探索有利于学生理解多边形的面积公式及发展学生推理意识的学习路径是至关重要的。教师在传统的教学中更注重的是面积公式的推导与应用,而忽略了面积公式的理解发现过程。有过程的归纳教学注重图形面积公式的探索发现过程,有利于实现图形面积由特殊到一般的推广,揭示不同方法和经验的共同属性,实现方法、经验上的迁移,最终找到解决图形面积这类问题的通法通则。本次研究就是基于以上的想法开展实践与研究的。

二、以学习者为中心,明晰学生的学习起点

为了解学生对平行四边形、三角形、梯形面积的学习基础,我们从学生对多边形面积计算公式的了解情况、面积探索过程中学生解决问题的思维能力、学生对面积计算公式的理解三个维度设计了前测问卷,对两个班90 名学生进行了测试。

从调查结果中可以看出,小学五年级上学期的学生对多边形面积的原有认知是存在差异的。有的没提前接触过这部分内容,就不知道多边形的面积计算公式;有的课前已经知道了各种图形的面积计算公式,虽然知道计算公式,但在前两节课中不能解释其计算原理的同学较多。在三节课中,第一节课的平行四边形的面积,有的学生无论教师给不给出方格暗示,都无法利用已有知识和经验得出多边形的面积,且这一水平的人数相对其他两节课较多,后两节课随着活动经验的积累,这一水平人数逐渐减少;三节课中前两节课一部分学生还是需要借助方格才能得到图形的面积,在第三节课梯形的面积中,由于学生能力的提升,借助方格的人数较少;在没有任何提示的情况下,只给出空白的梯形,就能够独立想办法求出这个梯形的面积,这部分学生知道要将多边形转化成已经学过的图形才能解决问题,能运用已学过的多边形的面积公式计算变化后图形的面积,但在前两节课中对于变化前后图形各部分之间的关系还很模糊;能找到转化前后两个图形之间的关系,能从特殊的例子出发推理出多边形面积的一般公式,三节课中第一节课学生达到这个水平的人数较少,后两节课随着方法经验的积累和迁移,具备归纳水平的人数逐渐增多。

由此我们得出如下结论:

第一,虽然有的学生已经知道了这几种图形面积的计算方法,但大多数学生并没有理解公式计算的原理;第二,面积公式理解的难点在于,学生无法建立转化前的多边形与转化后的图形各部分之间的联系;第三,在探索面积的过程中,教师需要给学生提供满足不同层次水平的学具(有格或无格的多边形);第四,学生无法只通过解决一个多边形面积的问题,推理出多边形面积计算的一般公式,但随着方法经验的积累和迁移,学生的归纳水平逐渐提高了。因此,在教学实施的过程中,我们应该注重学生对面积公式的理解,有必要通过有过程的归纳教学来培养学生的归纳推理意识,提高学生的归纳推理能力,形成逻辑推理的数学核心素养。

三、单元实施思路与任务设计

基于以上的思考,我们对本单元进行了有过程的归纳教学,并将单元划分为三课时。三节课中三角形面积和梯形面积的计算是以平行四边形面积的计算为基础的,以图形内在联系为线索,都是以未知转化成已知的基本方法展开学习的。三节课的编排顺序都是为转化做铺垫和暗示。

第一课时“平行四边形的面积” 设计了四个逐层递进的学习任务。任务一,猜想如何求平行四边形的面积;任务二,借助方格纸验证猜想是否正确;任务三,运用割补法把平行四边形转化为长方形,寻找转化前后图形各部分之间的联系;任务四,从特例出发归纳平行四边形的计算公式。

第二课时“三角形的面积” 设计了三个逐层递进的学习任务。任务一,讨论如何求三角形的面积;任务二,把三角形转化为学过的图形,寻找转化前后图形各部分之间的联系;任务三,归纳三角形的面积公式。

第三课时“梯形的面积” 设计了逐层递进的四个学习任务。任务一,回顾长方形、平行四边形、三角形的面积公式,通过联想和类比,迁移原有的方法解决新问题;任务二,想办法将梯形的面积转化成学过图形的面积,通过逻辑推理得到梯形面积的一般方法,归纳梯形的面积公式;任务三,归纳公式,总结探索平面图形面积的思想方法;任务四,拓展延伸,感受到平面图形面积公式之间的联系。

四、教学过程的展开

(一)从个别到一般,归纳计算方法,了解归纳推理的思维过程

一个公式的得出,应来自于该公式适用对象的全体。有过程的归纳教学实现了学生在研究每一种图形面积的学习中都经历了从个别到一般,也就是从特殊的例子出发,从几个图形到所有图形或者从一类图形到另一类图形的研究过程,这样才能涵盖所有的图形,推导的过程和结果更具说服力。

学生在本单元探索每一种图形面积的计算方法时,我们都注重了面积公式发现的过程,进行了有过程的归纳教学。目的是让学生经历从个别到一般,即经历从探索几个图形的面积的计算方法到归纳所有图形的面积的计算方法或者从一类图形的面积到另一类图形的面积的研究过程,让学生在此过程中深入理解图形面积的计算公式和计算原理,最终使学生了解归纳推理的思维过程,强化学生的推理意识。

每节课都是借助选定的具有代表性的3 个多边形学具,让学生在学习指南的指导下,独立自主地去探索、发现、归纳这几个图形面积的计算方法,再到归纳所有图形面积计算的方法,即平行四边形、三角形、梯形的面积的一般公式。在这一环节中,学生经历了从个别到一般的学习过程,初步了解了归纳推理的思维过程。

(二)由直观到抽象,层层递进完成转化,发展逻辑推理能力

平行四边形、三角形、梯形的面积这三节课可以说是一脉相承的,都是逐步把原有的知识与方法和现在遇到的情境进行整合,对已有的知识进行联想和类比,迁移原有的方法解决新图形面积的问题。这三节课都是运用了转化的思想方法,但在解决问题的思维方式上却是由直观思维到抽象思维的过渡。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。由于学生的个体差异,本单元学生个别学习时探索多边形面积公式的方式是多元化的,可分为方格纸数计算面积和割补法求面积这两种方法,方格法有不同的数法,割补法的方法也有多种方法,通过 “小组学习”“集体学习” 等不同的教学组织形式使得学生之间互相倾听、交流、质疑彼此的方法,这样更有助于发展学生的空间想象能力。同时针对于学习的内容学生也全面感受到不同的图形也可能用的是同一种方法,同一种图形有不同方法,但本堂课的教学不能仅仅停留在只让学生感受解决问题方法多样化的层面上,而是要通过有过程的归纳教学,对不同方法经验进行分析比较,归纳发现虽然过程不一样但结果是一致的,也就是学生从不同的思路上加以研究,最后得到的都是平行四边形、三角形、梯形面积计算的一般公式,通过归纳也会发现同一种图形有不同方法但都遵循将未知转化为已知的原则——转化思想。

为了更好地理解转化前后图形各部分之间的关系,学生在探索平行四边形和三角形的面积时,需要借助直观的格子图和数据来完成转化并得到几个特殊图形的面积,进而在此基础上归纳出图形面积计算的一般公式。但学生对多边形面积的理解不能只停留在直观感知的层面,还要经历从直观到抽象的转化。在学习梯形的面积时,学生已经积累了一定的思维经验,因此,在推导梯形的面积公式时就要抛开格子图和数据,要从直观到抽象地转变思维,直接寻找转化前后图形之间的联系,推理得到梯形面积的一般计算方法,以此发展抽象的逻辑推理能力。

(三)变先验为经验,操作体验、感悟体会,提升逻辑推理能力

数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括,帮助学生在数学知识形成、发展、应用的过程中感悟数学思想,是数学教学的重要目标,也是数学核心素养真正落地的体现。在本单元面积的探索活动中,学生不仅要归纳图形的面积计算方法,还要通过操作体验,归纳探索出图形面积的思维方法即转化的方法,最终提升逻辑推理能力。例如,在验证平行四边形面积的猜想中,学生通过割补法将平行四边形面积转化成前面学过的长方形的面积进行计算;在探索三角形、梯形面积的活动中学生通过割补法把三角形、梯形的面积转化为前面学过的长方形、平行四边形或者三角形的面积进行计算。本单元以图形的内在联系为线索,构成了图形面积计算的转化链。

从以上计算几种平面图形面积的转化链中,我们不难发现转化思想在解决平面图形面积问题中的重要作用。在本单元中每求一个新图形的面积都会用到转化的办法,即通过不同的转化方法得到多边形的面积公式,实现将未知转化为已知,最终使问题得以解决。这样的活动经验和思维方法不但在本单元每节课之间互相积累渗透,而且前一节学会的知识、经验、方法也会迁移到下一节课新知识的学习过程中进行拓展应用,在后续探索平面图形圆的面积时也会继续得到迁移应用。在这一过程中,学生将先验的知识转化为可经验、可体验、可发现、可探究的知识,通过操作体验,提升逻辑推理能力。

综上所述,在本单元的设计与实施中,我们围绕率性教学开展有过程的归纳教学实践探索,将对学生逻辑推理能力的培养贯串始终。学生通过经历从个别到一般的学习过程,自主地归纳推理出多边形面积的计算公式,感悟计算道理,初步了解归纳推理的思维过程。我们应引导学生了解、掌握并转变思维方式,让学生通过操作体验,经历从直观到抽象的转化,最终将先验转化为有经验的、已知的知识,提升逻辑推理能力。