数学结构化思维的培育与教学对策

彭春燕(山东省临沂市莒南县第二小学 276600)

结构化思维是一种重要的数学思维方式,可以引导小学生从已有知识结构中调取解决当前问题的方法、经验,使他们在面对陌生的数学问题时做出准确判断、进而找到最佳解题策略。学生必须经过持续训练才能养成结构化思维习惯,这就要求教师有意识地在教材解读、课程设置、活动设计和作业布置等环节增加培育结构化思维所占的比重,引导学生经历数学问题的发现、提出、分析、解决、迁移应用等过程,将数学知识内化为学生的思维结构,并进一步形成结构化思维。

一、数学结构化思维的内涵与功能

结构化思维出自管理学领域,是对事物结构进行积极建构,使事物结构更为优化、有序化的思维过程。数学领域中的结构化思维是将广义中的“事物”转换为数学知识,其具体解释为“能够从多角度对数学问题展开观察、分析,并利用关联性、系统性、整体性的思维找到解题策略、解决数学问题的思维方法。”数学结构化思维的对象是数学知识结构,它可以使学习者在建构数学知识结构的过程中形成完备的数学知识网络。

在以往的教学案例中,数学结构化思维偶有使用。如在“平行四边形的面积”的学习中,教师会引领学生将“平行四边形的面积”与已习得的“长方形的面积”关联起来。而在“梯形的面积”这一板块中,学生又会利用已学的平行四边形、三角形等知识,研究、探析“梯形的面积”,且对这些基础几何图形的面积公式进行对比、联系。在上述示例中,学生的思维已呈现出结构化特点。但大部分数学课堂对结构化思维的运用都停留在浅尝辄止的阶段,教师设计的结构化思维培育环节很难调动学生的自主精神、探索动力。学生在学习中普遍不会将新与旧、数与形、抽象与具象的知识自主关联起来。他们从往昔学习、生活实际中所获的知识经验很难投入到新知识新领域的探索中,这就说明大部分学校对结构化思维的培育还存在误区,需要加强指向结构化思维培育的教学对策研究。

二、当前小学数学结构化思维培育存在的问题

1.新旧知识间的联系不够紧密

数学结构化思维重视知识间的沟通与迁移。当前,教学较为忽视知识的类比迁移,尤其是在新旧知识之间没有建立起交流渠道,导致数学知识呈现片面、静止、孤立的状态,不利于学生的理解应用。教师往往“教到哪里就只看哪里”,在这种情况下,学生的头脑中无法生成整体化、结构化的知识体系,也难以将新知识与自身所掌握的知识进行同化。同时,教师也很少有意识地引导学生拓展、延伸旧知识,并自主探寻新知识,学会的知识如同“放在储藏间的旧货”一样弃之不用,自然也不会将旧知识拿出来,同新知识进行观察、比较。这不仅使新的问题无法解决,还会造成数学知识技能的生疏与遗忘。

2.数与形的转化程度不够深入

为顺应课程改革的要求,数学教材的编撰也强调综合性。教材中不会特意区分几何模块或代数模块,这便给数学教师提出了新的教学要求。“数形结合”是一种重要的数学思想方法,为帮助学生理解数学本质,教师可根据教学目的,将抽象的数字符号与直观的几何图形进行转化。当前,小学数学教学普遍没有高效利用“数形结合”教学方法,对过于简单以至于观察者无法提炼出规律的图形,没有进行处理转化,即没有借助数的精确性来准确地表达某些几何特性。相较于形,小学数学中关于数的内容更为抽象,但教师却习惯性地忽视学生的认知规律,在教学中往往教到数字就只讲数字,教到几何就只讲几何,没有利用图像对数进行直观阐述。如此一来,学生无法发现蕴藏在数中的隐蔽、复杂信息,也无法培养数学的结构化思维。

3.数学与外部世界的对应不够贴切

数学问题虽然较为抽象,但与客观现实具有较强的对应关系。不少教师并没有建立数学与现实的联系,在知识讲授中不善于使用简化模型。如果教师不能引导学生从具体生活情境中发现、总结、提炼数学问题,学生即便能够牢记公式步骤、推理过程,也不一定真正理解数学计算的内在规律,更不会举一反三地解决问题。有些教师虽有意识地使用教具模型帮助学生理解数学问题,但没有考虑学生的接受能力与认知规律,模型的功能没有被充分发挥,成了“走过场”“充门面”的冗余工具。在这一情况下,学生虽能按照教师的要求操作模型、解答问题,但还很难将模型与所学内容联系起来,也无法将现实场景中的现象用数学语言进行表达。

三、指向结构化思维培育的小学数学教学对策

1.沟通新旧知识,加强对新知的同化与内化

数学结构化思维重视利用已有解题思路解决新的问题。在数学中,每一类问题都不是独立存在的,而是与其他知识有着千丝万缕的联系。指向结构化思维培育的小学数学教学,应当引领学生发现这些联系,找出隐藏在不同问题中的共同特征与相似结构,并将已有数学经验、知识迁移到新的领域,从而实现新知与旧知的结合与同化,将完整的知识体系内嵌于心,为日后迁移应用提供丰富的知识储备。

在“除数是小数的除法”的教学中,为达到新旧知识的沟通与迁移,教师可以先引领学生复习除数为整数的除法知识。教师先给出一系列除法算式:60÷15、600÷150、6000÷1500、6÷1.5。对于五年级的学生而言,前三个除法式子不存在解答难度,且很容易看出,除数、被除数的值虽然不一样,但答案却是一样的。教师再让学生自由观察讨论前三题的其他共同点,学生发现它们的除数与被除数较相邻题目均同时扩大或缩小了10倍,学生便能将这一发现迁移到除数为小数的除法问题上,从而猜出最后一题的答案。接下来,教师给出算式8÷0.32,要求学生将其按照先前的猜测转换为除数为整数的除法,学生往往能够“照猫画虎”,根据前文所提及的四组运算,将算式写作“800÷32”。此时,教师抛出“为什么前面要补上两个‘0’”等问题,引导学生进一步总结出小数点移动的规律与“补0”的数量依据。在这一环节中,学生思考讨论所总结出的知识还能继续迁移到被除数与除数都是小数的除法题目中。学生在复习旧知、构建新知的过程中将零散的数学知识整合起来,有利于建立结构化的数学知识体系,进而加强自身的数学结构化思维。

2.重视数形结合,把握数量之间的关系本质

数与形是数学中最基本的研究对象,将这两部分内容转化、结合,有利于学生对抽象事物的理解、解题思路的优化。把数学中复杂的数字问题转化为直观的图像,再引导学生观察、分析、比较和归纳形与数之间的关系,从而使学生深入理解数与数的关系本质。

在“异分母分数的加、减法”教学中,教师可以使用数形结合的讲解方法,加深学生对算理的理解。以算式“2/3+1/9”为例,教师可以刻画一幅扇形图:将圆形划分为9 份,其中一份标为红色,三份为蓝色。这幅图对应了“2/3+1/9”的运算本质,学生在对图像的认识中不难领会“异分母分数的加减法需要先将两个分数划分为同分数单位”这一原则。

以“将3.27 保留一位小数求取近似数”为例,教师可以先提出“为何保存一位的小数求近似数要看第二位?”等问题,学生往往会围绕数字来回答该问题。这时候,教师可出示直线刻度图,将数字3与4之间平均分成10份,再将10份中的第2条刻度线与第三条刻度线之间再平分10份,便可以找到“3.27”对应的位置。学生看到该图后便能够察觉到,相较于“3.2”“3.27”,3同“3.3”的距离更为接近。在此过程中,学生先获悉图画信息,再建立图形与数字的联系,最终通过图画理解数字与数字之间的关系,这有利于学生对复杂数学问题的理解与解决,有助于学生在数与形的融会贯通中建立起数学结构化思维。

3.建立直观模型,澄清数学与现实的对应关系

数学模型一般指将复杂、前沿问题简洁化、形式化的研究方案。小学数学问题虽谈不上复杂、高深,但仍可以真实性、简易性、直观性、系统性为目的,建立能够客观反映数学现象的实物模型,并以此明晰抽象理论与现实世界的对应关系。

在“乘法分配律”教学中,教师可以利用低年级知识“长方体体积”进行建模。教师先拿出三个立方体,它们的长宽高分别为7cm、5cm、4cm;3cm、5cm、4cm;4cm、5cm、4cm。这三个立方体宽与高是相等的,区别就在于长度:第一个立方体的长度等于其余两个立方体长度的和。也就是说,将后两个立方体拼合为一体后形成的新立方体与第一个立方体是全等的。教师再要求学生计算新立方体的体积,会发现在学生的计算中存在两种求体积方法,第一种是(3×20)+(4×20),第二种则是(3+4)×20。采用第一种方法的学生是将两个立方体分别求积再相加,而采用第二种方法的学生则是将两个立方体想象为一体,先算新立方体的长,再算它的体积。上述两种计算方法均正确、合理,并且它们的计算结果显然相同,这准确地反映了乘法分配律。教师借助立方体模型将抽象的数字符号直观地呈现出来,有利于学生建立起抽象理论与具象事物的联系,将复杂、晦涩的数学信息转化为简洁、清晰的结构化知识,最终建立起数学结构化思维。

四、结语

结构性思维有利于小学生建立对数学问题的结构化认知,增强其发现、分析、解决数学问题的能力。教师需要使用多样的教学策略,在紧扣教材内容的基础上了解学生认知规律,引导学生主动溯源新知识,厘清知识脉络、延展思考维度,使学生更加系统、完整地把握数学知识,并形成结构化思维。最终,学生将学会用数学思维去观察、认知、解构世界,甚至能用数学工具能动地改造现实世界。