如何用构造函数法解答含参不等式恒成立问题

陈正民

含参不等式恒成立问题通常较为复杂，侧重于考查同学们综合运用函数、不等式、导数、平面几何等知识解题的能力.解答此类问题的常用方法是构造函数法.那么，如何构造合适的函数呢？下面结合实例来进行探讨.

例题：若对于任意的[x>-1]，不等式[aex-ln（x+1）≥1-lnaa>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

该不等式中含有指数式、对数式、参数，较为复杂，需灵活运用构造函数法求解.

一、通过移项构造函数

若不等式的两侧均含有代数式，则需将不等式两侧的式子进行移项，并将其一侧或两侧的式子构造成函数，即[f（x）>0、f（x）<0]、 [f（x）>g（x）、f（x）0、f（x）max<0]、 [f（x）min>g（x）max ]、 [f（x）max

解法1.由[aex-ln（x+1）≥1-lna]可得[aex-ln（x+1）+lna-1≥0].

令[f（x）=aex-ln（x+1）+lna-1（x>-1）]，

所以[f（x）]在[（-1，+∞）]上是单调递增的，

当[x][→-1]时， [f（x）→-∞]；当[x→+∞]时，[ f（x）→+∞]，

所以存在[x0∈（-1，+∞）]，使得[f（x0）=0]，

当[-1x0]时， [f（x）>0]，

所以[f（x）]在[（-1，x0）]上单调递减，在[（x0，+∞）]上单调递增，

所以[f（x）min=f（x0）=aex0-ln（x0+1）+lna-1]，

要使[f（x）≥0]恒成立，须使[f（x0）≥0]，

在上式的两边同时取对数，

得[lna=-x0-ln（x0+1）]，

所以[g（x）]在[（-1，+∞）]上单调递减，且[g（x0）≥g（0）].

不等式两边的式子中都含有对数式、参数，需将其左右两边的式子移项，这样便将不等式左边的式子构造成函数[f（x）=aex-ln（x+1）+lna-1（x>-1）].然后对函数進行两次求导，通过虚设零点，判断出函数的单调性，进而求得函数的最小值和参数的取值范围.

二、通过变更主元构造函数

在解答数学问题时，通常会将x、y视为主元，将其他变量视为参数.在解答含参不等式恒成立问题受阻时，不妨将x、y视为辅元、参数视为主元，来构造出新函数，以通过变更主元，将不等式恒成立问题转化为关于新元的函数最值问题来求解，从而轻松获得问题的答案.

解法2.由[aex-ln（x+1）≥1-lna]可得[aex-ln（x+1）+lna-1≥0].

令[a=1]，则[f（x）=ex-ln（x+1）-1（x>-1）]，

所以[f（x）]在[（-1，0）]上单调递减，在[（0，+∞）]上单调递增，

所以[f（x）min=f（0）=0]，即[f（x）≥0].

所以[a=1]时，[ f（x）≥0]恒成立.

令[g（a）=aex+lna-ln（x+1）-1（x>-1）（a>0）]，

所以[g（a）]在[（0，+∞）]上单调递增.

当[a≥1]时，[g（a）≥g（1）≥0]，所以[f（x）≥0]，

当[0

因为[0

可得[f（0）=（a-1）+lna<0]，所以[0

综上可知，当[a≥1]时不等式恒成立.

我们先变更主元，将不等式中的参数a看作主元，构造函数[g（a）=aex+lna-ln（x+1）-1（x>-1）]；然后对函数求导，而求导后的式子较为简单，只需分[a≥1]、[0

三、结合同构式构造函数

有时通过变形、化简、移项、添项、去项等，可以将不等式两边的式子变成结构一致、形式相似的式子，即同构式，此时可根据同构式的结构特征，构造出函数模型，将不等式两边的式子看作不同自变量的函数值.那么我们只需判断出函数的单调性，或求得函数的最值，即可建立新不等式，从而快速求得参数的取值范围.

解法3.由[aex-ln（x+1）≥1-lna]可得[aex+lna≥ln（x+1）+1].

因为[a=elna]，所以[ex+lna+lna≥ln（x+1）+1]，

在不等式的两边同时加上[x]，

得[ex+lna+（x+lna）≥ln（x+1）+（x+1）].

令[f（x）=lnx+x（x>0）]，

则[f（ex+lna）≥f（x+1）]，

所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

因为[f（ex+lna）≥f（x+1）]，

所以[ex+lna≥x+1]，

当[-1

当[x>0]时，[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递减，

所以[g（x）max=g（0）=1]，

所以当[a≥1]时，不等式恒成立.

将不等式移项，并在其左右两边的式子上同时加上x，即可得到同构式[ex+lna+（x+lna）、ln（x+1）+（x+1）].然后根据同构式，构造函数[f（x）=lnx+x（x>0）]，通过研究其导函数，判断出函数的单调性，求得其最值，即可解题.在构造同构式时，同学们要仔细观察不等式的结构特征，发现其共同点，对其进行合理的变形、配凑.

由此可见，运用构造函数法解答含参不等式恒成立问题，关键是通过移项、变更主元，结合同构式的特征，构造出合适的函数模型，这样才能将复杂的题目转化为简单问题来求解，从而达到化难为易的目的.