基于核心素养表现的中考数学压轴题的评析和教学启示

孙雪玉

摘 要：《义务教育数学课程标准（2022版）》明确学业考试命题原则：坚持素养立意，凸显育人导向.核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养.中考试题具有选拔、评价、引领、促进教学等功能，对于一线教师来说最重要的无疑是引领教学方向.本文以一道中考数学压轴题为例，展开对试题解法和教学策略的探究，以此体会核心素养的考查方式.

关键词：核心素养;函数;教学启示

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出“三会”数学核心素养在初中阶段主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.纵览近几年各省市中考数学试卷，命题者们将核心素养培养深入中考命题中，目的是优化教师课堂教学，促使核心素养落地. 2021年福建省中考数学压轴题第25题（以下简称25题）的命制充分融入核心素养元素，笔者以此题为例进行试题评析，愿其中所诉观点和做法能给初中同仁一些启示.

1 原题呈现

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴只有一个公共点.

（1） 若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2） 已知点P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有两点在抛物线上.

① 求抛物线的解析式；

② 设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=-1上，且∠MAN=90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.求证：△MAB与△MBC的面积相等.

2 试题赏析

本题是二次函数的综合应用问题，既传承了福建省连续六年中考压轴题对函数思想方法的考查，又着重考查了初中数学的核心知识和关键能力，注重数学本质，体现课程标准，诠释核心素养.

从核心知识上看，25题考查了一次函数、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段的中点及三角形面积等知识；从能力角度上看，试题着力考查了学生的画图识图能力、运算推理能力、探究分析能力；从素养立意上看，试题布局点与线等基本元素，通过寻找对称点、定点、定线，发现特殊图形及数量关系，考查了几何直觀和建模素养；利用相似三角形的性质、勾股定理、“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”定理建立方程并进行准确计算，考查了数学应用意识和运算素养；关注各小题之间的关联和层次，对探究结论进行转化论证，考查了数学抽象和数学推理素养.

3 解法研究

3.1 第（1）题用函数的观念求最小值有以下两个视角

视角1：根据已知条件得到a，b的数量关系，将a+b换元为a或b的函数，利用二次函数的性质求其最小值.

视角2：由已知抛物线过点P（0，1），可得y=ax²+bx+1，令x=1，则y=a+b+1，进而a+b=y-1，将a+b视为y的一次函数，利用一次函数的性质求其最小值.

因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以抛物线顶点在x轴上，则同时在抛物线上的两点只能为图2，即P₁，P₃，以下同解法1.

3.3 第（2）题②存在三种解法  第（2）② 问通过动点、动直线与抛物线的结合，将代数与几何的众多知识相关联，同时考查“运动变化”，充分体现了解析几何的思想，注重初高中知识衔接，有力地发挥了压轴题压轴问的区分和选拔功能.

本题的解题关键有以下三点：（1） 在无图情况下准确画出图形，强调函数背景下数形结合的重要性，考查学生画图识图技能和直观想象素养；（2） 根据题中所给条件“∠MAN=90°”，灵活运用相似三角形、直角三角形的性质构建方程，求证线段相等.在“变”中探求规律，以此发现“不变”，较好地渗透了数形结合、方程与函数、转化与化归等数学思想方法，同时本题多解归一，体现数学思维的多样性和灵活性；（3） 本题三种证明方法都要求学生具有很强的含参代数式的推理和计算能力，能在动态图形背景下提炼相关几何模型，有序有向思考，借助参数表征几何元素，计算严谨精准，同时要具有高度的思维深刻性、灵活性和创新性，深入考查了学生的逻辑推理能力和数学运算素养.

（2） 第2①问典型错误如下：

用代入法得到三种情况的方程组后，没有使用主干条件b²-4ac=0，无法得到方程组的解；

将第1问得到的c=1错误地使用在本题中；

正确求出对称轴为y轴后，不知道对称轴与b的关系，求出b为非零数值；

将P₁，P₂，P₃同时代入二次函数表达式得到无解方程组.

（3） 第2②问典型错误如下：

无法用k正确地表示出x₁，x₂；

对韦达定理的记忆错误；

猜测出x₀=2k，但缺少推理或推理过程出错.

4.3 教学建议

（1） 对于点在函数图象上的问题：代入法的训练要强化x、y 的对应关系，例如本题点P（0，1），让学生写出x=0时，y=1，避免代入错误.

（2） 学生对于Δ=b²-4ac、顶点坐标公式、韦达定理的记忆不准确，建议复习时可以在简单题中反复出现，同时加强理解各字母的意义以及与函数图象的关系.

（3） 对于方程组和含参数方程解法存在的问题：不顾运算目标、不考虑算理盲目地进行推理演算.教学建议：引导学生有序有向思考，让学生明晰运算方向，学会运算思维；运算思维技能化，优生要懂得计算方法的优选.

（4） 对于题目条件中“与x轴只有一个公共点”“点P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有两点在抛物线上”无法转化成图象进行直观地理解和判断，建议教学中引导学生函数问题务必先画示意图再解答，并从图象上感知点与线、线与线的位置关系，以及函数的增减性和对称性.

为此，教师要潜心研究中考试题所考查的知识、能力、思想方法和核心素养， 探索培养学生核心素养有效的教学模式，并在日常教学中给予落实和发展，这是教师进行有效教学的需要.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］ .北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 钟红，孙洪波，高丽威.基于改革与创新的中考数学压轴题命制［J］.中小学教师培训，2021（2）：24-29.

基金项目：福建省厦门市第十五期中学学科带头人培养对象科研课题《初中数学几何直观教学实践研究》研究成果（编号XMXD2022011526）.