构造相似三角形 破解线段比问题

杜锦雄

摘 要：在历年中考试题中，经常出现将直角三角形与图形的旋转变换相结合的计算问题，这类问题具有一定的选拔功能，对学生而言有一定的难度.文章以一道中考试题为例，通过从不同角度构造相似三角形，得到了问题的多种解法，以达到举一反三的效果.通过“一题多解”不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力，而且可以培养学生的创新能力.

关键词：构造；相似三角形；线段比；解法；变式探究

直角三角形是初中数学中最常见的几何图形，旋转变换是最基本的图形变换，将二者有机结合，可命制出丰富多彩的几何问题，这类问题是历年中考的热点问题，倍受命题者的青睐.本文以2023年内蒙古包头市中考数学第15题为例，对这类问题的解法进行了探究，给出了问题的多种解法，供读者参考.

1 试题呈现

點评：根据图形基本特征，通过构造正方形ACEC′得到“A型”相似三角形，然后利用相似三角形的性质求解某些关键线段的长.图7是正方形中常见的“手拉手”几何模型，利用这一几何模型能有效降低问题的求解难度，提高解题效率.

当然，本题还可利用解析法求解，限于篇幅，此处从略，请读者自行探究.

4 结束语

构造相似三角形是解决线段比问题的基本方法，相似三角形的性质是解决线段比问题的基本工具.在解决具体问题时，为构建已知条件与所求结论之间的逻辑关系，需根据图形结构特征，合理构造“X型”或“A型”相似三角形，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求得某些关键线段的长或直接求得线段之比.通过“一题多解”不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力，而且可以培养学生的创新能力.