多思维视角切入，多变式层面拓展

2023-03-24裴巧玲

数学之友 2023年21期

裴巧玲

摘要：涉及圆锥曲线中的离心率的取值范围（或最值）问题，往往是高考命题中比较常见的一种基本方式.借助一道模拟题的探究，就椭圆离心率的最值分析与求解，从不同思维视角切入加以分析与解决，合理变式与拓展，总结思路与技巧策略，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：圆锥曲线；离心率；椭圆；最小值；变式

离心率是圓锥曲线（这里主要指椭圆与双曲线）中的主干知识和重点知识，关于求离心率值的范围（或最值）问题具有很好的探究价值.这类问题往往注重高中各必备版块知识的交点，注重数学思想和方法的综合，使之成为各类考试的高频考点之一.由于此类问题综合性强，数学思维能力和数学运算能力要求高，学生在解题中普遍存在进入难、深入难、析出难这“三难”，成为各类数学试卷命题中的一个重点与难点.

1 问题呈现

4 教学启示

4.1 思路总结，策略归纳

圆锥曲线（这里主要指椭圆与双曲线）的离心率的取值范围（或最值）问题是各类考试的热点题型之一，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键.以下三种思路是比较常见的求解策略：

（1）利用圆锥曲线的定义、余弦定理或勾股定理，构造关于参数a，b，c的不等关系；

（2）利用圆锥曲线的基本性质，如：通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的取值范围等，建立相应的不等关系；

（3）利用几何图形中几何量的大小，如：线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.

另外，对于双曲线而言，有时还可以利用其渐近线的斜率比较来合理建立相应的不等关系等.

4.2 方向指导，思想引领

圆锥曲线（这里主要指椭圆与双曲线）的离心率的取值范围（或最值）问题可以概括为显示约束条件和隐藏约束条件两种题型，以“形”为主的解题的方向和以“数”为主的解题两种解题方向，解不等式法和函数值域法两种求解取值范围（或最值）的方法.

离心率问题往往与平面向量、解三角形等知识结合，考查学生对圆锥曲线的基本知识（如定义、焦点三角形的性质等）、基本方法的理解和掌握，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想的运用等.

另外，双曲线的离心率是双曲线一个非常重要的几何性质.其求解方法涉及到解析几何、代数运算等知识点，往往综合性强，方法灵活，没有固定的模式可套，如何根据题设条件找到切入点，构建含有离心率的关系式是解决这类问题的关键所在.