由一道圆锥曲线题引发的思考

袁青

圆锥曲线是解析几何中的重点内容.圆锥曲线问题侧重于考查直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的定义、方程、几何性质.圆锥曲线问题的显著特点是解题过程中的计算量大，很多同学经常因此放弃解题.对此，我们需寻找一些简化运算的方法，来提升解题的效率.下面以一道题为例，探讨一下简化运算的方法.

在解答圆锥曲线问题时，我们用得较多的是直线的斜截式方程，但用这种方程形式的前提是必须已知直线的斜率和截距（这里指纵截距，即直线与y轴交点的纵坐标），在斜率不确定的情况下要进行分类讨论：（一）当斜率不存在的时候，可设直线方程为x=b；（二）当斜率存在的时候，可设直线方程为y=kx+b.

教材中共介绍了直线方程的五种形式，分别为点斜式方程、斜截式方程、截距式方程、两点式方程、一般式方程，但每种形式的方程都有自己的局限性.因此在解答直线与圆锥曲线问题时，很关键的一步是合理设出直线的方程，否则会导致解题过程中的计算量加大，严重影响计算速度.

很多同学不擅长运用直线的斜截式方程解题，事实上，若已知直线的斜率，或直线与x轴的交点时，设出直线的斜截式方程，能有效地减少运算量.

本題中，动直线经过x轴上的点，且根据题意可知直线的斜率不为0，于是设出直线的横截式方程，将其与椭圆的方程进行联立求解，这样计算过程就会变得更为简单.

通过以上两道例题我们发现，在解答直线与圆锥曲线的综合问题时，不能盲目地设直线方程，一定要认真审题，熟练掌握直线的斜截式方程和直线的横截式方程的适用条件，巧妙合理地设出直线的方程，只有这样才能减少计算量，提高解题的速度.

（作者单位：新疆乌鲁木齐市高级中学）