一种八质量MEMS陀螺模态频率分析方法*

李毅轩，郑雄斌，姜 波

(南京理工大学 机械工程学院·南京·210094)

0 引 言

微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)陀螺是一种利用科氏效应(Coriolis Effect)测量惯性空间中载体的旋转角速度或角度的传感器。它具有体积小、质量小、功耗低、寿命长、可批量生产等突出优点，满足现代惯导系统对高精度小型化惯性器件需求，因此被广泛应用于消费电子产品、车辆导航、航空航天和制导武器等领域。MEMS陀螺按结构形式和敏感角速度方式可以分为两类。第一类是集总质量振动陀螺，以音叉陀螺[1-2]为代表，其谐振结构中有明确区分的两种构件，即提供惯性的质量块和提供刚度的柔性曲梁。这类陀螺的优势是具有较大的敏感质量和驱动位移，能够实现较高的灵敏度。第二类是固体波动陀螺，这是一种连续分布质量陀螺，以环式陀螺[3-12]为代表，其谐振结构中的构件同时提供敏感质量和弹性刚度。工作原理是基于旋转轴对称结构弹性波的惯性效应，即由于科氏力的作用谐振结构振型角随输入角速度产生绕转动轴的缓慢进动，利用该特性可以实现旋转角速度或角度的检测。该类陀螺因其轴对称结构具有振型和频率一致的工作模态，有利于实现模态匹配，此外还具有良好的抗振性和较低的温度敏感性。美国波音公司和喷气推进实验室报道了一款具有近导航级精度的MEMS多环陀螺[13]，揭示了轴对称结构陀螺的巨大潜力。

南京理工大学[14]研制了一款全对称结构的八质量MEMS陀螺，其谐振结构由8个相同的三角形质量块沿圆周中心对称分布，通过折叠梁组相互连接形成一个连续的整体。工作模态为两个类似于MEMS环形陀螺的n=2模态，且夹角为45°。这种新型陀螺结构设计同时结合了集总质量陀螺的大敏感质量和固体波动陀螺旋转对称的最佳特性，具有实现高性能MEMS陀螺的潜力。

由于八质量MEMS陀螺结构较为复杂，在迭代设计过程中采用有限元仿真分析耗时费力，为应对这种情况，本文基于八质量MEMS陀螺的结构以及工作模态振型的特点，采用拉格朗日多自由度动力学方程，建立一个适用于计算八质量MEMS陀螺工作模态频率的数学模型，来提高陀螺设计的效率。

1 八质量MEMS陀螺的等效模型

八质量MEMS陀螺的谐振子可以拆分为如下部件，如图1所示，8个三角形质量块沿圆周旋转对称分布，通过内部解耦梁组和外部解耦梁组分别与中心锚点和8个外部锚点连接，相邻三角形质量块通过连接梁相互连接。内部解耦梁组由T形结构，以及4组易于沿径向方向运动的解耦折叠梁(以下简称为径向解耦梁)和2组易于沿周向方向运动的解耦折叠梁(以下简称为周向解耦梁)组成。其中T形结构具有隔离径向解耦梁和周向解耦梁相互影响的作用，确保三角形质量块只沿径向或者周向运动。同理，外部解耦梁组也有类似的组成部件，其中T形结构由梳齿电极结构替代。

图1 八质量MEMS陀螺的谐振子及其组成部件Fig.1 The components of eight-mass MEMS gyroscope resonator

基于以上所述的八质量MEMS陀螺的谐振子结构形式的特点，可以将其简化为如图2所示的质量-弹簧等效模型。图中主要显示八质量MEMS陀螺的1/8谐振子的等效模型，mT为T形结构的质量，mtri为三角形质量块的质量，melec为梳齿电极结构的质量，kr为径向解耦梁的刚度，kc为周向解耦梁的刚度，ko为连接梁的刚度，在正八边形结构中ko与周向运动的夹角为22.5°。

图2 八质量MEMS陀螺的等效模型(1/8谐振子)Fig.2 The equivalent model of eight-mass MEMS gyroscope (1/8 of resonator)

2 八质量MEMS陀螺模态频率分析模型的建立

基于图2所示的八质量MEMS陀螺的等效模型，采用拉格朗日动力学方程建立其工作模态振型和频率计算的数学模型。如图1所示，以0°方位的1/8的八质量谐振子为基准，按逆时针顺序从1～8编号，然后分别提取其径向位移xri和周向位移xci作为广义运动坐标，i=1，2，…，8。三角形质量块和梳齿电极结构提供的径向运动方向的质量mri(mri=mtrii+meleci)，周向运动方向的质量mci(mci=mtrii+mTi)则由三角形质量块和T形结构提供。8组径向解耦梁提供的刚度定义为kri，4组周向解耦梁提供的刚度定义为kci，连接梁处的刚度定义如图3所示，korij代表垂直于连接梁的刚度分量，kocij代表平行于连接梁的刚度，定义ij=12，23，34，…，78，81，θ值为22.5°。

图3 连接梁处的刚度分布Fig.3 The stiffness distribution at the connecting beam

基于上述八质量MEMS陀螺的等效模型参数的定义，系统动能T的表达式为

(1)

径向解耦梁和周向解耦梁产生的势能Vrc的表达式为

(2)

连接梁处产生的势能Vo表达式为

(ij=12,23,34,…,78,81)

(3)

则总势能V=Vrc+Vo

为简化之后建立的工作模态频率分析数学模型，考虑到八质量MEMS陀螺的两个工作模态的振型和频率完全相同，因此只需针对性地建立描述其中一个工作模态振型的运动方程。八质量MEMS陀螺的工作模态振型如图4所示。

(a) 工作模态A (b) 工作模态B图4 八质量MEMS陀螺的工作模态Fig.4 The operation modes of eight-mass MEMS gyroscope

从图4工作模态B的振型特点可知，三角形质量块主要有两种运动方式：一是与梳齿电极结构沿径向方向运动，二是与T形结构沿周向方向运动，且相邻的两个三角形质量块只存在沿径向或者沿周向一种运动方式。故只需提取奇(偶)数编号的三角形质量块的径(周)向位移xr2n-1(xc2n)，径(周)向质量mr2n-1(mc2n)，径(周)向刚度kr2n-1(kc2n)，n=1，2，3，4，则式(1)、式(2)和式(3)可以简化为

(4)

(5)

(6)

拉格朗日动力学方程的一般表达式为

(7)

对于自由振动的八质量谐振子，阻尼项D暂不考虑，外力项F=0，则式(7)可以简化为

(8)

将简化后的动能T和势能V代入式(8)可以得到如下表达式

(9)

式中，

(10)

(11)

通过求解质量矩阵M和刚度矩阵K所组成的行列式

|K-(2πf)2M|=0

(12)

得到8个特征频率值fi。为识别所求特征频率是否为工作模态频率，通过逆推法将每个特征频率fi代入图5所示的流程进行验证。

图5 工作模态频率识别流程Fig.5 The identification process of the operation mode frequency

基于上述频率分析建模路线，同理可以针对性地建立八质量MEMS陀螺其他平面模态的频率理论计算模型。靠近八质量MEMS陀螺工作模态的主要平面模态有：(a)转动模态，(b)第一类平动模态，(c)第二类平动模态，(d)全径向差分运动模态，其对应的模态形状以及三角形质量块的运动方式如图6所示。这4种平面模态被称为工作模态的干扰模态，在设计过程需要拉开工作模态频率与干扰模态频率的频差，避免模态之间的耦合。

(a) 转动模态

(b) 第一类平动模态

(c) 第二类平动模态

(d) 全径向差分运动模态图6 八质量MEMS陀螺的平面干扰模态Fig.6 The in-plane disturbing modes of eight-mass MEMS gyroscope

3 八质量MEMS陀螺模态频率分析模型的有效性评估

基于文献[14]所提供的八质量MEMS陀螺的初始参数对所建的模态频率分析模型进行有效性验证，参数数据如表1所示，表中径向解耦梁的刚度、周向解耦梁的刚度和连接梁的刚度可以通过图7中对应梁的尺寸参数理论计算获取[15]。

表1 八质量MEMS陀螺初始参数Tab.1 The initial parameters of eight-mass MEMS gyroscope

(a) 径向解耦梁的结构参数

(b) 周向解耦梁的结构参数

(c) 连接梁的结构参数图7 梁的尺寸参数(单位：μm)Fig.7 The size parameters of the beams (unit：μm)

基于表1中的数据，采用所建立数学模型计算出八质量MEMS陀螺的工作模态频率以及平面模态频率。同时为验证结果的可靠性，对八质量MEMS陀螺进行有限元建模仿真计算，表2列出了理论计算频率与有限元仿真计算频率的结果。经过对比，理论计算出的工作频率与仿真计算的频率偏差为12.8%，对于其他平面模态，频率偏差在13.6%以内，说明该模态频率分析数学模型可以得到较为准确的计算结果。

表2 理论计算频率与有限元仿真计算频率的结果Tab.2 The frequency calculation results of theory and FEM

4 结 论

本文采用拉格朗日动力学方程针对性地建立了一个分析八质量MEMS陀螺的工作模态频率的解析模型，并将理论计算结果与有限元仿真结果进行对比，发现理论计算出的工作频率与仿真计算的频率偏差为12.8%，对于其他平面模态，频率偏差在13.6%以内，证明了所建数学模型的可靠性。在八质量MEMS陀螺的研究设计中，该数学模型能降低多次迭代所耗费的时间，为准确快速获得工作模态目标频率奠定了基础。