DC-DC Boost变换器系统的复合模态振荡分析

2023-03-20王小荣张绍华张宏立

振动与冲击 2023年5期

张云，王聪，王小荣，张绍华，张宏立，

(1.新疆大学电气工程学院，乌鲁木齐 830017；2.新疆大学工程训练中心，乌鲁木齐 830017)

非光滑动力系统广泛存在于实际工程中，诸如由摩擦、碰撞、脉冲等因素导致的摩擦机械系统[1]、机器人系统[2]、电力电子变换器系统[3]等非光滑系统。根据向量场光滑性程度的不同，一般被分为三种：非光滑连续系统[4]；Filippov系统[5]；非光滑脉冲系统[6]。而电力电子变换器系统中的开关变化状态会引起分段光滑现象[7]，使轨线被限制于切换流形面上，继而产生滑动现象[8-9]。当轨线处于不同的子区域内，且与边界发生相切、穿越时会引起系统发生复杂变化[10]。轨线与分界面接触点的不同以及系统参数发生变化时也有可能造成轨线的滑动、转迁、穿越等多种非线性现象[11-12]。非光滑的特性也体现在分段光滑系统中，如转换边界平衡点分岔，极限环擦边[13]和滑动分岔[14]等。

本文主要探讨的是分段光滑的电力电子变换器系统中由参数、外部激励共同作用以及不同尺度耦合导致的复合模态簇发振荡及其产生机制。复合模态簇发振荡是一种类似于混沌的非线性行为，最早的研究始于Poincaré建立的奇异摄动方程[15]，直到Rinzel[16]搭建了两快一慢神经元模型，并发现了神经元具有簇发放电行为后，关于非线性系统的簇发振荡行为引起了学者们的高度关注[17-18]。随着Rinzel快慢分析法的提出，有关簇发机理分析的研究成果开始丰富。Bao等[19]发现了莫里斯-勒卡(ML)神经元模型的簇发及其产生机制。Ma等[20]揭示了周期激励下Jerk电路系统中由延迟分岔诱发的复杂簇发振荡结构。Proskurkin等[21]发现了化学反应系统中的复杂簇发现象。Wei等[22]研究了参外联合激励下的机械系统的簇发行为，发现了一种主要由Hopf分岔与同宿分岔造成的新型复杂级联型振荡。张绍华等[23-24]首次研究了受外部扰动的永磁同步电动机系统中的簇发振荡行为。Theodore等[25]研究了一种化学反应扩散方程中的多模态簇发振荡产生机理。Baldemir等[26]发现了三维神经元模型中的一种特殊平衡状态及其在大幅振荡与微幅振荡转换时的作用。将耦合系统分解为快子、慢子系统，可以揭示激发态(spiking state)和沉寂态(quiescent state)之间的分岔转换关系，得到簇发振荡的产生机制[27-28]。但是当系统不存在明显的快慢效应时，就不能直接用快慢分析法。为此,国内毕勤胜课题组拓展了该方法，将整个周期激励项视为慢变参数，从而使得非自治系统转换为广义自治系统，并展开了大量的研究[29-31]。

迄今为止，对于多频激励下不同频率比的分段光滑电力电子变换器系统的复合模态振荡研究处在初始阶段，因此，深入探索其振荡及其分岔机制以及各种复杂行为，为电力电子变换器的设计提供理论基础，可以避免这种簇发振荡行为的产生，也为后续相关电路耦合模型的簇发研究提供了辅助模型。为此，本文以含有Washout滤波器和滑模控制器的DC-DC Boost整流器为例,通过引入交流电源，建立多尺度耦合的分段光滑模型，得到三种典型情形下簇发振荡行为，揭示了其产生机理。主要意义是：① 分析了分段光滑电力电子变换器系统的复合模态簇发振荡及其产生机制；② 探究了多时间尺度耦合的参、外联合激励共同作用下复合模态振荡行为对电力电子变换器系统的影响机理。

1 数学模型

电力电子变换器系统中的非光滑现象往往是因为系统中存在的开关切换控制所导致，如Cristiano等[32]建立了如图1所示的含有Washout滤波器和滑模控制器的DC-DC Boost整流器电路系统，得到系统的三维分段光滑Filippov数学模型为

(a) DC-DC Boost变换器

(b) Washout滤波器

(1)

式中:R为电阻;L为电感;C为电容;iL为电感电流;vC为电容电压;Vref为参考电压;zF为电感电流iL经过Washout滤波器导致的系统新变量;Vin为输入电压源;rL为电感电阻;ωF为滤波器的截止频率。

滑模控制器的控制律定义为

u=[1+sign(H)]/2

(2)

当u=1时，代表图1(a)中的开关S关闭，当u=0时，表示开关S打开。

引入标准化变量为

表1 标准化新参数、状态与时间变量Tab.1 Normalized new variables, parameters and time

则式(1)系统可转化为无量纲的分段光滑Filippov模型(便于计算，以t代表无量纲时间τ)

(3)

为了研究变换器在遭受内部、外部扰动共同影响作用下系统的簇发振荡行为，在系统(3)的基础上，同时引入参数激励和外部周期激励，得新三维分段光滑Filippov系统

(4)

2 理论分析

选取系统(4)中的参数激励频率、外部激励频率均远小于系统的固有频率，便可将激励项中的cos(ωiτ)(i=1,2)定义为慢变量，则系统中就包含了两个不同的慢变量。若存在一个函数ω(τ)能分别表示它们，即cos(ω1τ)=f1(ω(τ))，cos(ω2τ)=f2(ω(τ))系统即转化为只含有一个慢变量ω(τ)的快慢系统F(x,y,f(ω(τ)))。因此，Han等[33]利用了Moivre公式，使系统转变为只含有1个基本慢变参数ω的快慢系统，使得传统的快慢分析方法仍可用来分析系统的复合模态振荡产生机理。

根据式(4)建立的系统模型，将广义自治系统的平衡点定义为E±(xi0,yi0,zi0)，其中

yi0=φxi0/a

(5)

zi0=(xi0(u-kb)+f2(ω)(φxi0/a)+k)/φ

(6)

不难得到，xi0满足

1-bxi0-u(φxi0/a)+(φxi0/a)3+f1(ω)=0

(7)

其稳定性由如下特征方程表示

P(λ)=λ3+Δ1λ2+Δ2λ+Δ3=0

(8)

其中

Δ1=(a+b)-φ

(9)

(10)

(11)

根据Routh-Hurwitz准则可知，当满足条件Δ1>0，Δ1Δ2-Δ3>0，Δ3>0时，E±为稳定的平衡点，从而导致两种可能的余维-1分岔失稳模式，当参数满足

(12)

且Δ1>0，Δ1Δ2-Δ3>0，此时出现单零及两负实部特征值，会出现Fold分岔，导致平衡点跳跃现象，而当参数满足

HB:Δ1Δ2-Δ3=0

(13)

为了研究系统的动力学行为，取定系统(3)中参数a=1，b=1，k=3，c=3，以新参数φ作为分岔参数，绘制系统的单参数分岔图。如图2(a)所示，随φ值不断减小系统由混沌状态(φ∈[-5.2,-3.4])变化为倍周期分岔状态(φ∈[-6.5,-5.2])，由多倍周期分岔继而转变为单倍周期分岔(φ∈[-10,-6.5])，系统进入稳定运动状态，由图中的局部放大图也可以看出，系统经历混沌运动状态、倍周期分岔状态、稳定运行状态等交替变化的复杂运动过程。

(a) 系统随新参数φ变化分岔图

(b) 系统随新参数b变化分岔图图2 单参数分岔图Fig.2 Single parameter bifurcation diagram

如图2(b)所示，以新参数b为变量的系统单参数分岔图表明，随着参数b不断减小，系统由混沌运动状态(b∈[-0.02,0.32])变化为稳定的周期运动状态(b∈[-0.35,-0.03])，由稳定状态转变为倍周期分岔运动状态(b∈[-0.65,-0.39])，并且由局部放大图中可以证实，此时倍周期运动状态与混沌运动转态叠加。随着参数b的值再次减小系统转变为更加复杂的混沌状态。从这两个系统单参数分岔图中，我们可以明显看出此系统具有丰富的动力学行为。

为了更全面地分析系统参数对系统动力学行为的影响，保持其他参数不变，系统的双参数分岔图和复杂度谱熵图如图3所示，图3(a)表示b和k为分岔参数的双参数分岔图，黑色表示系统处于混沌运动状态，其他颜色表示系统处于周期运动状态或倍周期运动状态。图3(a)中红色、粉红色、紫色以及黑色区域面积相对较大，表明系统处于单倍周期、二倍周期、四倍周期状态以及混沌状态动力学行为较为丰富，同时不同周期分岔行为也表现出不同的周期窗口。

(a) 双参数分岔图

(b) 复杂度谱熵图图3 双参数分岔图和复杂度谱熵图Fig.3 Two parameters bifurcation diagram and complexity spectral entropy map

图3(b)所示的复杂度谱熵图中，用不同颜色来表示系统的复杂程度，其中具有较大值的青蓝色表示系统处于混沌运动状态，其他相对较小的值表示系统处于周期性运动状态。对比图3(a)、图3(b)发现，当k值取0附近时，随参数b的改变，系统一直处于混沌运动状态。另外，图3表明，随两参数的改变，系统表现出了丰富的动力学行为。

为了进一步讨论共振条件下系统的动力学行为，取定系统(4)中参数为：a=1，b=1，φ=-5，k=3，A1=8，A2=8，并利用Moivre公式将两个慢变量转化为一个基本慢变量ω表示，其中ω=cos 0.01t。表2给出了ω1∶ω2=1∶1，1∶2，2∶2时三种典型情形下的f1(ω)和f2(ω)的表达式。

表2 三种典型情形下的f1(ω)和f2(ω)表达式Tab.2 f1(ω) and f2(ω) expressions under two typical case

值得说明的是，虽然情形一与情形三的系统参外激励频率比值均为ω1∶ω2=1∶1，但情形一的参数激励、外部激励均为奇数值；情形二的参数激励、外部激励值均为偶数值，所以两种情形产生的复合模态振荡结构则完全不同。

(a) ω1∶ω2=1∶1时平衡曲线

(b) ω1∶ω2=1∶2时平衡曲线

通过对比三种情形下系统的平衡曲线发现，虽然参数激励和外部激励的频率比有所改变，但是DC-DC Boost系统均包含E+和E-两条平衡曲线，发生改变的是系统中分岔点数目以及平衡曲线的结构。前两种情形下的平衡曲线虽然结构相似，但系统的分岔点数目不同，分布情况也不相同。相比于图4(a)和图4(b)，图4(c)的平衡曲线结构更加特殊，系统表现出对称性，且平衡曲线穿插分界线的次数更多，表现出的系统动力学行为也更加丰富。

3 严格共振条件下的簇发振荡

3.1 情形一

严格共振条件下的簇发振荡，即系统参外激励的频率比为整数比的情况下。取外部激励和参数激励为ω1=ω2=0.01，此时的频率比为ω1∶ω2=1∶1。图5给出了DC-DC Boost变换器系统在参外联合激励下的时间历程图、空间相图、转换相图、以及系统平衡曲线与转换相图的叠加图。

(a) 时间历程图

(b) 空间相图

(d) 平衡曲线与转换相图的叠加图图5 ω1∶ω2=1∶1时的簇发振荡Fig.5 Bursting oscillations for ω1∶ω2=1∶1

变换器系统的电容电压y的时间历程图如图(5)所示，可以看出系统发生了周期性的簇发振荡，变换器系统在激发态与沉寂态之间来回变换，对应于图中的SPi(i=1,2,3,4,5,6)和QSi(i=1,2,3,4,5,6)，其振荡周期也与ω完全一致，即T=2π/Ω。由图5(b)的空间相图也可知系统发生了簇发振荡，系统轨线围绕着广义自治系统的EF1±,EF2+,EF3+,EF4±这6个焦点来回振荡，形成了六个涡卷的复合模态振荡。

为了便于分析这一簇发机制的产生机理，图5(c)、图5(d)给出了系统的转换相图和平衡曲线与转换相图的叠加图。由图5(c)可以看出，系统被分界面Σ划分，系统轨迹分别存在于两子区域D±之中。随慢变参数ω的数值发生改变，两轨线都存在由不稳定平衡曲线向稳定平衡曲线靠近的趋势，经过分岔点时都产生跳跃现象。

需要强调的是，在此情形下轨线两次穿越分界面的性质不同，在ω由负变正的过程中，是由D+子区域平衡曲线的光滑Fold分岔点引起的，而在ω值由正变负的过程中，是由轨线到达系统平衡曲线与分界面交点时产生的非光滑Fold分岔点引起的，这些可以从轨线的簇发跳跃过程得到证实。最终DC-DC Boost变换器系统产生了六涡卷非对称式光滑Fold-非光滑Fold型复合模态簇发振荡。

3.2 情形二

取外部激励和参数激励为ω1=0.01，ω1=0.02此时的频率比为ω1∶ω2=1∶2，两个慢变量仍用基本慢变量表示，即cos 0.01t=ω，cos 0.02t=2ω2-1，代入系统(4)中。且相较于情形一，情形二两激励的频率比为奇数比偶数，则产生的复合模态簇发振荡结构与之完全不相同。变换器系统时间历程图如图6(a)所示，在一个周期中，包含4个激发态和4个沉寂态。图6(b)为空间相图，系统轨线围绕EF1+，EF2+，EF3±这4个焦点来回振荡跳跃，形成了四涡卷的簇发现象。

(a) 时间历程图

(b) 空间相图

(d) 平衡曲线与转换相图的叠加图图6 ω1∶ω2=1∶2时的簇发振荡Fig.6 Bursting oscillations for ω1∶ω2=1∶2

由图6的系统平衡曲线可知，随参外激励频率的变化，快子系统会表现出复杂的分岔现象和多种平衡态，此时系统的簇发现象会更复杂。图6(c)给出了系统的转换相图，同样的系统被分界面Σ划分为两个子区域D+和D-。

3.3 情形三

取外部激励和参数激励为ω1=ω2=0.02，此时的频率比仍为ω1∶ω2=1∶1，将两个慢变量转变为一个慢变量，即cos 0.02t=2ω2-1，cos 0.02t=2ω2-1，代入系统(4)中。相较于情形一，虽然频率比的比值相同，但情形三两激励的频率比为偶数比，则产生的复合模态簇发振荡结构与之完全不相同。变换器系统电容电压y的时间历程图如图7(a)所示，在一个周期中，包含6个激发态和6个沉寂态。图7(b)为空间相图，系统轨线围绕EF2+，EF3+，EF1,4-这3个焦点来回振荡跳跃，形成了三涡卷的簇发现象。

(a) 时间历程图

(b) 空间相图

(d) 平衡曲线与转换相图的叠加图图7 ω1∶ω2=2∶2时的簇发振荡Fig.7 Bursting oscillation for ω1∶ω2=2∶2

为了揭示该簇发现象产生的机理，图7(c)给出了DC-DC Boost变换器系统的转换相图，可以看出系统轨线在D±区域内分别围绕两稳定平衡曲线振荡，轨线结构是关于ω=0呈轴对称的，随ω值的变化，系统轨线也是完成了对称的周期性变化，表现为六次复合模态簇发振荡。

4 结论

参外联合激励下的电力电子变换器系统在激励频率远小于系统原有频率时会存在明显的两时间尺度效应。对于严格共振的多频激励耦合系统，由Moivre公式便可以用一个函数代数式表达多个激励项，将此视为慢变参数，从而建立相应的快子系统和单一慢变量的慢子系统。系统中的非光滑分界面将相空间划分为不同子区域，通过对不同区域子系统的稳定性进行分析，结合单参数、双参数分岔图，得到系统不同运动状态的参数范围；通过复杂度谱熵图可以验证系统具有丰富的动力学行为。根据系统的平衡曲线，再结合转换相图，可以揭示不同类型的簇发振荡产生机制。本文首次分析了DC-DC Boost变换器系统的三种典型复合模态簇发振荡产生机理，即“六涡卷、四涡卷非对称式光滑Fold-非光滑Fold型、周期性对称式非光滑Fold-Fold型”簇发振荡，为多模态耦合的电力电子变换器系统簇发振荡分析提供了理论研究基础。

还需指出的是，本文讨论的是在系统严格共振情形下的簇发振荡，而实际系统中，当变换器系统受到扰动时则表现为非严格共振情形，也可能产生其他的复杂非线性行为，我们将另讨论这种情形。此外，电力电子变换器系统处于簇发振荡状态，会造成输出电压不稳、暂态响应能力下降等危害，后续我们也将开展对变换器系统稳定性控制方面的工作研究。