采用模糊小波网络的移动机械臂反步鲁棒控制

孙银生，徐瑞丽，李风雷，姚利娜

（1.郑州机械研究所有限公司，河南 郑州 450002；2.河南职业技术学院电气工程学院，河南 郑州 450046；3.郑州大学电气工程学院，河南 郑州 450001）

1 引言

移动机械臂系统[1]由轮式平台和机械臂两部分构成，能够在控制方法的作用下按照控制信号使机械臂末端到达指定位置来完成相应的工作任务，广泛地应用于工农业生产和物流装配等领域[2−4]。众所周知，控制方法和策略对移动机械臂系统起着至关重要的作用，但是系统模型与实际之间的误差会严重影响控制效果[5−6]。另外，由于移动机械臂是一个复杂的系统，在实际工作的过程中不可避免地会受到的外界干扰，如：机械摩擦、轮式平台驱动电机以及机械臂各关节电机的动态特性等，也会影响整个系统的工作状态[7−9]。

目前针对移动机械臂系统控制的研究已经取得了一定成果，如：文献[10]采用极限学习机设计了包含模型不确定性机械臂的自适应神经控制方法，但没有考虑外界干扰和电机动态的影响；文献[11]提出了一种由事件驱动的多关节机械臂自适应鲁棒控制方法，来解决跟踪精度问题，但是该方法的设计过程比较复杂，并且没有考虑电机动态对机械臂控制的影响；文献[12]针对带有摩擦和扰动等不确定因素的机械臂系统控制问题，通过模糊系统逼近摩擦，设计了反馈控制律来补偿扰动影响，但该方法需要已知扰动上界，且没有考虑电机动态的影响；文献[13]设计了鲁棒自适应滑模控制方法，并利用李亚普诺夫泛函和线性矩阵不等式方法解算出空间机械臂控制系统的鲁棒渐近稳定条件，但没有考虑电机动态对机械臂控制的影响。为了进一步提高移动机械臂系统的控制效果，建立了包含模型误差和外界干扰等不确定性以及电机动态的数学模型，设计了基于模糊小波网络的反步鲁棒控制方法，实现了移动机械臂系统的鲁棒控制。

2 建立移动机械臂数学模型

移动机械臂系统不仅可自主移动，还可模拟人的手臂自由活动，移动机械臂示意图，如图1所示。

图1 移动机械臂示意图Fig.1 Schematic Diagram of Mobile Manipulator

这里以轮式平台和两关节机械臂构成的移动机械臂系统作为研究对象，其中轮式平台包括2个驱动轮和1个从动轮，1个驱动轮在电机的作用下带动整个平台运动。机械臂各关节在伺服电机的驱动下绕关节点自由转动，由于移动机械臂系统会受到模型误差和外界干扰等不确定性的影响，考虑不确定性的移动机械臂系统动力学模型［14−16］描述为：

移动机械臂系统包括4个电机，分别用来驱动轮式平台的两个驱动轮转动和机械臂的两个关节转动。通常针对移动机械臂系统的研究都不考虑电机动态特性对于系统整体的影响，然而在实际应用中，电机的输出力矩是非线性的，容易受到机械摩擦等不确定性因素的影响。为了更加符合工程实际，给出了移动机械臂系统的电机模型如下：

式中：Le—电机的电感矩阵；Re—电机的电阻矩阵；Ke—电机的反电势常数矩阵—电机的不确定性；u—电机的输入电压。

令x1=q，x2=3=ie，则考虑不确定性和电机动态特性的移动机械臂系统模型为：

3 反步鲁棒控制律设计

针对包含不确定性和电机动态特性的移动机械臂系统模型（式（3）），设计了模糊小波网络［17−18］的反步鲁棒控制律，实现包容不确定性的高精度稳定控制。反步鲁棒控制系统结构，如图2所示。

图2 反步鲁棒控制系统结构Fig.2 Structure of Back−Stepping Robust Control System

3.1 自适应观测器设计

由于存在模型误差和外界干扰等不确定性，测量得到的系统状态是不准确的，为了提高控制效果和控制精度，设计一个自适应观测器作为辅助系统，实现对系统状态的准确估计。

自适应观测器设计如下：

3.2 基于模糊小波网络的不确定性估计

虽然小波网络对于确定性输入具有很好的估计和逼近能力，但对于不确定性输入的估计能力有限。为了提高小波网络的估计精度和效果，将模糊算法引入小波网络中，构成模糊小波网络［19］，来实现对移动机械臂系统中不确定性和的快速估计。模糊小波网络结构，如图3所示。

图3 模糊小波网络结构Fig.3 Fuzzy Wavelet Network Structur e

式中：W∗—最优权值矩阵；c∗—最优中心向量；ω∗—最优参数向量；εf—有界误差向量。

选取小波隶属函数为：

式中：ϕj(x)—第j个小波隶属函数；

ωji—ϕj(x)的第i个参数；

xji—ϕj(x)的第i个输入值；

cji—ϕj(x)的第i个中心值。

在小波隶属函数的基础上，选取模糊小波基函数为：

式中：ψk(x)—第k个模糊小波基函数。

3.3 反步鲁棒控制律设计

在自适应观测器（式（5））和不确定性估计（式（13）、式（14））的基础上，设计移动机械臂系统的反步鲁棒控制律，实现包容不确定性的鲁棒控制。

（1）移动机械臂的控制指令为qd，那么x1的跟踪误差S1为：

设计虚拟控制指令为：

其中，k1>0。为了克服微分爆炸现象，设计如下滤波器对式（16）进行滤波。

式中：x2f—输出值；

T2—时间常数；

y2—误差，y2=x2f−。

（2）由式（16）和式（17）可得到移动机械臂系统状态x2的跟踪误差S2为：

设计虚拟控制指令为：

其中，k2>0。

的自适应律为：

式中：λ2>0。为了克服微分爆炸现象，设计如下滤波器对虚式（19）进行滤波。

式中：x3f—输出值；

T3—时间常数；

y3—误差，y3=x3f−。

（3）由式（20）、式（21）可得到移动机械臂系统状态x3的跟踪误差S3为：

设计实际控制指令u为：

其中，k3>0。

的自适应律为：

其中，λ3>0。

3.4 稳定性分析

定理1：针对考虑不确定性和电机动态特性的移动机械臂系统（式（3）），设计的反步鲁棒控制律能够确保移动机械臂系统稳定跟踪控制信号。反步鲁棒控制律包括自适应观测器（式（5）），基于模糊小波网络的自适应律式（（11）和式（12））以及鲁棒控制律式（（16）、式（19）和式（23））。

证明：考虑如下Lyapunov函数V：

将自适应观测器（式（5））、基于模糊小波网络的不确定性自适应律式（式（13）和式（14）），以及鲁棒控制律（式（16）、式（19）和式（23））代入式（26）化简得：

由Lyapunov稳定性定理可得到定理1成立。即所设计的反步鲁棒控制律能够确保移动机械臂系统稳定跟踪控制信号。

4 仿真及对比分析

为了证明提出的反步鲁棒控制方法的控制效果，在MATLAB环境中进行仿真实验，并与文献[20]的方法对比。

4.1 实验参数设置

移动机械臂系统中轮式平台、关节1和关节2的质量分别为：20.2kg、1.3kg、1.3kg；关节1和关节2的长度均为0.2m；电机参数为：

设置控制律参数，如表1所示。

表1 控制律参数Tab.1 Control Law Parameters

4.2 轮式平台位移和方位角的跟踪对比

轮式移动平台横坐标、纵坐标和方位角的仿真结果，如图4～图6所示。

图4 横坐标仿真结果Fig.4 Simulation Results of x

图5 纵坐标仿真结果Fig.5 Simulation Results of y

图6 方位角仿真结果Fig.6 Simulation Results of Azimuth

由横坐标仿真结果图4可看出：文献［20］基于RBF神经网络控制方法能够使轮式平台的横坐标在2s后基本跟踪控制信号，跟踪误差在（−0.5～0.5）m间波动；而提出方法能够确保轮式平台的横坐标在0.45s内准确跟踪控制信号，最大跟踪误差为仅0.05m。

由纵坐标仿真结果图5可看出：文献［20］基于RBF神经网络控制方法能够使轮式平台的纵坐标在2s后基本跟踪控制信号，跟踪误差在（−1～0.2）m间波动；而提出方法能够确保轮式平台的纵坐标在0.45s内准确跟踪控制信号，最大跟踪误差仅为0.05m。由方位角仿真结果图6可看出：文献［20］基于RBF神经网络控制方法能使轮式平台的方位角在1s后基本跟踪控制信号，跟踪误差在（−5～5）°间波动；而提出方法能够确保轮式平台的方位角在0.45s内准确跟踪控制信号，最大跟踪误差仅为0.5°。

4.3 机械臂关节角位移跟踪对比

关节1和关节2的角位移仿真结果，如图7、图8所示。由关节1角位移仿真结果图7可看出：文献［20］基于RBF神经网络控制方法能够使关节1角位移在1s后基本跟踪控制信号，跟踪误差在（−4～4）°间波动；而提出方法能够确保关节1角位移在0.45s内准确跟踪控制信号，最大跟踪误差更低，仅为0.5°。

图7 关节1角位移仿真结果Fig.7 Simulation Results of Joint 1 Angular Displacement

图8 关节2角位移仿真结果Fig.8 Simulation Results of Joint 2 Angular Displacement

由关节2角位移仿真结果图8可看出：文献［20］基于RBF神经网络控制方法能够使关节2角位移在1s后基本跟踪控制信号，跟踪误差范围在（−6～6）°间波动；而提出方法能够确保关节2角位移在0.45s内准确跟踪控制信号，最大跟踪误差也仅为0.5°。

5 结论

针对考虑不确定性和电机动态的移动机械臂系统控制问题，提出了一种基于模糊小波网络的反步鲁棒控制方法。仿真实验结果表明：设计的控制方法可保证移动机械臂系统在0.45s内准确跟踪到控制信号，表现出了更快的响应速度和更高的准确性。同时，模糊小波网络可准确估计移动机械臂系统的不确定性，并包容不确定性带来的影响，确保移动机械臂系统轮式平台横坐标、纵坐标、方位角、关节1角位移和关节2角位移的最大跟踪误差分别仅为0.05m、0.05m、0.5°、0.5°和0.5°，控制效果更佳。