《勾股定理》教学设计

罗冬慧 广东省东莞市松山湖北区学校

●创新整合点

本课采用智能平板教学模式，融合信息技术智慧教学平台及嵌入的学生评价系统，展示在学科教学中的应用。

在不同环节采用智慧平台学生互动的方式进行学习探究，并对学生的学习成果进行展示，教师在一体机上可详细清晰地看到全班学生完成情况与各题目的正确率，系统自动对学生的完成情况进行后台数据处理，教师可直接观察到学生的答题集中趋势，并针对易错点进行剖析，针对性地做到学生会的，教师少讲，学生不会的重点讲。

在授课过程中，通过智能平板，教师和学生一同进行过程性评价，极大地促进了教师的教与学生的学。

●教材分析

《勾股定理》是人教版八年级下册第十七章第一课时的学习内容，是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行的学习，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要依据之一。学好本节课至关重要，能为逆定理的学习打好基础。在许多的实际应用中，勾股定理的身影几乎无所不在，实际用途很大。教材在编写时也注重了以下几方面：培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确地进行运用。

●学情分析

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课按照以下设计思路展开教学：通过知识点打卡的方式带领学生逐步深入认识勾股定理，选用“引导探究式”教学方法，先由浅入深、由特殊到一般地提出问题。接着引导学生通过实验操作，归纳验证，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念。通过教师引导，学生动手、动脑，主动探索获取新知，进一步理解并运用归纳猜想、由特殊到一般、数形结合等数学思想方法解决问题。同时，让学生感悟到学习任何知识的最好方法就是自己去探究。

●教学目标

知识与技能目标：了解勾股定理的发现及历史背景，熟练掌握勾股定理的内容，会用面积法和拼图法证明勾股定理，初步运用勾股定理进行有关的计算。

过程与方法目标：经历知识背景、实验探究、应用体验和数学启示四个环节的学习，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。

情感态度与价值观目标：感受数学文化史，渗透数学之美、探究之趣。体验数学学习中探索和创造的乐趣，培养数学学习的兴趣与信心，培养动手探究与合作意识。

●教学环境与准备

学生人手一部交互式电子白板、平板电脑，教师端教师版平板，希沃软件，众人通智慧平台和PPT课件，在教室里安装有常态化摄录播设备、智课终端系统、智慧物联管控系统、光能黑板及教学一体机、全光网络等基础硬件，为实施个性化教学提供了技术支持与保障。

●教学过程

师：同学们，今天我们要一起携手去探索一个非常伟大神奇的定理，通过屏幕大家也知道今天的主角就是勾股定理。大家看到屏幕左上角的这个动图了吗？看起来像一棵树，没错，其实它就是用勾股定理的原理制作的勾股树，学习了本节课，同学们就能深刻地体会到勾股定理的奥妙之处了。我们今天的旅程有4个打卡点。第一个打卡点是历史背景站，一起去了解勾股定理的发展历史；第二个打卡点是实验探究站，了解定理的发现及证明；第三个打卡点是体验应用站，一起感受勾股定理的实际作用；第四个打卡点是数学启示站，领悟勾股定理带给我们的启示。

1.第一站：历史背景站

以学生喜闻乐见的快闪方式开启勾股之旅，介绍勾股定理的历史背景和丰富的文化价值，调动学生对新知识学习的探究热情，从而将注意力高度集中到接下来的打卡任务中。

设计意图：本课的学习以打卡的方式创设学习主线，设计了4个打卡站点，从介绍勾股定理的历史到进入实验探究站，再到体验应用站，最后到数学启示站，以学生喜闻乐见的方式开启勾股之旅的学习，激发学生探究新知识的欲望，为新单元的学习做一个良好的铺垫。

2.第二站：实验探究站

以毕达哥拉斯发现地砖规律导入勾股定理发现的背景，从而在探究地砖图案的规律中初步得出直角三角形三边的规律。毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。请学生观察图1中的地面，看看能发现些什么？

图1

师：你能找出图中研究面中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律，并直接数等腰直角三角形的个数。

生：SA+SB=SC。

师：图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？

生：两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？

在讲解了勾股定理的发现背景及从地砖规律中初步探究得出的等腰直角三角形的三边关系后，通过两个一般直角三角形三边所围成的正方形的面积的验证，探究直角三角形的三边关系。

设计意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形的三边关系，为接下来验证一般的直角三角形的三边关系提供了典型特例。

在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，思考以下问题：

三个正方形面积有何关系？

直角三角形三边长有何关系？

依据活动一和活动二，请大胆提出你的猜想。

学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形的面积。学生分组交流，展示求面积的不同方法。最后观察图表数据，归纳出三个正方形面积的数量关系，再由面积转化成直角三角形的三边关系，得到勾股定理的表达式。

学生思考，教师播放实验视频。

视频启示：通过实验发现，如果前提不是直角三角形的话，那么它是不能满足勾股定理的表达式的，勾股定理是直角三角形的一个非常重要的性质，在以后的学习中我们将会借助勾股定理解决许多实际问题。

本环节从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化。

学生归纳，得出命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么

设计意图：在实验探究站中，通过分类讨论的方法，探寻一般直角三角形的三边关系，直观地以实验验证得出勾股定理的表达式，为接下来的证明方法打下基础。

利用拼图法来验证勾股定理。教师鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程。对比两种不同的拼法，进而渗透数形结合及方程的思想。

请用尽可能多的方法拼成一个正方形；

方法一：我国古代数学家赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明（如图2）。

图2

方法二：其他的拼法证明，如图3所示。

图3

师：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把在小组合作报告中了解的方法与大家一起分享）

归纳总结：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

设计意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对勾股定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想。通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明做出的贡献，增强民族自豪感。通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心。

通过探究与证明，学生已能较好地掌握勾股定理的内容，接着带领学生前往发现站，参观勾股定理的其他证明方法（播放视频）。

3.第三站：体验应用站

利用勾股定理的性质解决与勾股定理相关的经典问题。设计例题与习题一题多变的勾股定理的实际应用题型，由简到难层层递进。

第一层：已知两边求第三边。

设计意图：在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程，渗透方程思想。

第二层：在原图的基础上加三个正方形，求出其中一个正方形的面积。

设计意图：学生应掌握三个正方形的面积关系，并能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系。

第三层：把正方形变式为三个半圆，求证两个小的半圆的面积和等于大半圆的面积。

设计意图：利用勾股定理的性质解决实际问题，明确勾股定理的应用必须在直角三角形中，是两直角边的平方和等于斜边的平方。

第四层：在第三层图形的基础上把大半圆翻折，求双月牙的面积和与直角三角形的面积的数量关系，留给学生课后探究证明。引导学生从解决基础的问题开始，逐渐提升解决高阶问题的能力。关注学生的解题思路与书写格式，鼓励学生多思考、善发现，在解题的过程中渗透思想方法的教育。

设计意图：利用转化思想，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理性质建立等量关系从而解决问题，发展学生的数学高阶思维。

在体验应用站打卡环节中，设计一题多变的环节，让学生在不断变化的问题情境中，抓住主要线索，层层突破，灵活运用勾股定理的性质解决实际问题。

4.第四站：数学启示站

进行勾股定理知识的课堂回顾及小结，升华学生对勾股定理的理性与感性认识，渗透善于发现善于思考的学习品质。

利用路线图回顾与总结本课所学，从发现到发展历史，再到验证与证明，与学生们一起总结归纳，提升认识，学生从不同角度谈本节课学习的主要内容：勾股定理的内容；验证勾股定理的方法；利用勾股定理已知两边，求第三边；能利用转化思想，将实际问题转化为数学问题。在学习的过程中学生感受到中国数学文化及数学美，感悟数形结合思想。从特殊到一般淋漓尽致地展示了数学的魅力，其中转化思想、分类讨论思想和方程思想更是提供了许多启迪智慧的方法，对打开数学视野起到很好的促进作用，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。

设计意图：数学启示站中，不仅是知识的小结环节，更是思想方法渗透的重要环节，关键在于提升学生的数学素养，树立数学学习的信心与兴趣，培养学生乐于思考善于探究的精神，发展学生的数学眼光。

●教学反思

本节课对勾股定理进行了探索并利用数形结合的方法验证勾股定理，通过“提出猜想—实验操作—归纳验证—解决问题—课堂小结”五部分让学生经历了知识的发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理，应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心。