探究学生“错误”，优化教学策略

张丽娟

［摘  要］ 对于错误，部分教师常借助大量相似的练习题来帮助学生完成认知体系的完善和解法的强化，以此提升解题准确率. 但学生考试时错误依然会重现，可见借助练习题进行知识的强化并不是最优策略. 文章以“错解”为出发点，重点剖析了错因，并提出了一些行之有效的解决策略，以期通过教学方法的优化帮助学生走出思维误区，以此促进学生思维品质的优化和解题能力的提升.

［关键词］ 错误；错因；解决策略

问题提出

高二上学期学习了“计数原理”，为了检测学生对该知识点的掌握情况，在期中考试时笔者给出了这样两道题：

题1：把5个不同的挂坠分给5人，恰有1人没有分到挂坠的不同方法有多少种？

题2：A，B，C，D，E站成一排，A不在排头，B不在中间的不同排法有多少种？

这两道题以学生熟悉的生活为背景，主要考查学生对排列组合和计算原理相关知识点的掌握情况，难度适中. 该类问题在新知教学时笔者重点讲解过，也做过相当多的练习，因此对于学生来说并不陌生.但是从试卷反馈来看，这两道题的得分率并不高，学生解题时暴露出了多种典型错误.

对于题1，典型错误有以下几种：

（1）先从5个挂坠中任选4个，分给5人中的4人，有C×A=600种分法；剩下的一个分给刚拿到挂坠的同学，所以有4种分法，故共有4×600=2400种分法.

（2）先从5个挂坠中任选2个，分给5人中的1人，有C×C=50种分法，再将余下的3个挂坠分给3人，有A=6种分法，故共有50×6=300种分法.

（3）恰有1人没有拿到挂坠相当于将5个挂坠分给4人，这样先从5人中任选4人，有C种分法，而每个人又有5种分法，所以有54种分法，因此总共有C×54=3125种分法.

对于题2，典型错误有以下几种：

（1）若A不在排头，则A有4个位置；B不在中间，A站在4个位置中的1个，则B有3个位置，余下的可以站在其他任何位置，有A种排法，故共有4×3×A=72种排法.

（2）先不考虑特殊位置，共有A种排法，其中A在排头有A种排法，B在中间有A种排法，于是共有A－2A=72种排法.

（3）若B在排头，有A种排法；若B不在排头，有A·C·A=72种排法，于是共有A+72=96种排法.

为了便于错因梳理，笔者通过交流整理了一些典型错误，以期通过思维重现帮助学生找到错因，这样既可以丰富学生的数学思维，又能提升学生的解题能力.

错因分析

从学生的实际反馈来看，解题时之所以错误率较高，主要有以下几个原因：

1. 对计数原理的掌握不到位

在一些概念、公式和定理的教学中，部分教师急于求成，简单地给出概念后就想借助“题海”强化训练，这样学生对概念、定理等基础知识的掌握往往不够牢固，因此应用这些基础知识解决问题时容易“张冠李戴”. 对于计数原理，它是学生解决计数问题最基本、最重要的依据，关键是让学生理解“完成一件事”具体指什么，以何种方式来完成.

首先，解题时先让学生设计好如何来“完成一件事”，而不是在没有搞清楚这件事该如何完成的情况下就盲目套用，这样容易因对问题理解不清而使学生解题时出现模棱两可、含糊不清的情况. 例如对于题1，研究的对象为挂坠，即将挂坠全部分掉，且满足其中4人都能分到挂坠，而在实际解题时，部分学生将研究的对象定为人，这样就会出现几个人分一个挂坠的情况，显然与实际不符，即因为研究对象定位错误而造成了错解，如错解（3）.

其次，在“完成一件事”时要搞清楚是分类完成的，还是分步完成的.如果是分类完成的，就要做到不重复、不遗漏；如果是分步完成的，每步缺一不可，而且每步环环相扣，保证其完整性、统一性. 解题时，学生容易将以上两种方法搞混淆，从而造成错误. 例如题1的错解（2），将余下的3个挂坠分给3人，到底是哪3人呢？关键步骤的缺失，势必造成错解.

再次，部分学生不能从整体视角去分析问题，运用分步原理解决问题时，因对步与步之间的关系理解不清而出现重复和遗漏的情况. 例题2的错解（1），先确定A有4种位置可站，若A站在中间，则B可以站在任意位置，所以B有4种位置可站，可见解题时出现了遗漏，而且第一步执行对第二步造成了影响，因此这样分步并不满足分步原理中的每步都要做到相互独立、互不影响的原则. 又如题1的错解（1），若将前面两步联系在一起进行分析，容易发现两步中存在相同的方法数，如“将A，B，C，D，E中的A，B，C，D四个挂坠分别分给甲、乙、丙、丁4人，还有一个挂墜E分给甲”与“将B，C，D，E四个挂坠分别分给甲、乙、丙、丁4人，还有一个挂坠A分给甲”是同一种方法，显然各步相互影响，这样看似“有序”的结果出现了重复.

可见，若对两种计数原理掌握得不够充分，极易产生重复和遗漏，使得看似有序的问题变得杂乱无章. 在教学中，教师应重视学生整体意识和全局意识的培养，让学生掌握原理的真正内涵.

2. 缺乏必要的认知基础

数学知识间存在着一定的联系，新知教授大多是学生原有认知体系上的一种建构和发展. 但排列组合问题较为特殊，它所研究的内容与之前所学知识并无太多关系，加上排列组合问题较为抽象，解法灵活，对学生的逻辑思维能力要求较高，同时学生又缺乏一定的解题经验，使得学生因缺乏必要的认知基础而找不到解题的突破口.

另外，排列组合问题大多以生活实际问题为背景，要求学生具有知识和解题经验的同时还要具有一定的生活经验. 但部分高中生的生活经验较为匮乏，使得他们因不能准确理解题意而造成解题时生搬硬套，有时候还会出现定式思维. 例如题1，有部分学生认为，只要确保5人中的4人有挂坠，然后将剩余的1个挂坠分给4人中的任意一人就能顺利完成这件事. 可见，由于学生的定式思维使得解题出现了负迁移，最终影响了解题效果.

3. 转化能力不强

转化能力是学生顺利解题所具备的基本能力和基本素养，由于同一问题往往有多种等价表征的方式，若学生解决问题时能够有效地将问题向自己熟悉的内容转化，则可以化解问题的难度，同时通过类比相关或相似的问题找到合理的解决方案. 但实际解题时，部分学生的转化意识不强，很难等价转化问题，不能有效地将已有的解题经验转化成解题能力，无法完成知识网络的建构以及解题方法的正迁移，最终影响解题准确率，这应引起教师重视. 排列组合问题较为灵活，往往可以将同一命题等价转化成多种形式，使得解法多样化. 例如题1，“把5个不同的挂坠分给5人，恰有1人没有分到”等价于“把5个不同的挂坠分给4人，其中1人有2个，其他每人1个”，还等价于“把5个不同的挂坠分给4人，每人至少有1个”. 做这样的等价转化后，学生自然知晓应先分挂坠，有C种分法，再分人，有A种分法，从而借助等价转化有效规避因研究对象不清而造成错解.

教学策略的优化

分析以上错解不难发现，之所以学生解题会出现错误，与教师的“教”息息相关. 该部分内容具有一定的独立性，其在高考中的占分比不高，因此并未引起师生的重视. 若想有效提升学生求解该部分试题的准确率，教师应重视两个计数原理的教学，注重学生思维过程的展示和剖析，进而通过思维的碰撞和交流，帮助学生夯实基础，同时通过思想方法的提炼，帮助学生掌握数学研究方法，让学生能够用发展的、全局的眼光去思考问题、分析问题，有效实施解题策略.

1. 抓好两个计数原理的教学

纵观排列组合整章内容，两个计数原理不单肩负着理论上的奠基作用，还体现着解题的重要思想方法，其是本章教学内容的核心和灵魂，贯穿整个章节的始终，因此理应引起师生重视. 但在实际教学中，有关两个计数原理的教学不多，课时安排较少，部分教师并未带领学生深入剖析计数原理，而是将太多精力放在解题方法和解题技巧的归纳总结上，这使得学生对计数原理的理解不够深入，当学生面对一些新的、复杂的问题时往往束手无策. 其实在教学中，若想让学生真的学懂学会，应淡化“题型技巧”的运用，注重两个计数原理的教学，帮助学生厘清“分步”和“分类”的区别，深刻揭示两个计数原理的本质，引导学生从问题的本质上去思考和解决问题，这样一定可以达到事半功倍的教学效果.

2. 注重学生思维过程的展示

排列组合与其他章节的内容略有不同，其更具生活味、灵活性，题目稍加变化就能成为一道全新的问题，因此解题时基本没有题型可以模仿；加上学生思维方式的差异，因此“完成一件事”的过程存在多样性，解法多样，就连错解也是五花八门. 为了更好地理解学生，帮助学生分析具体存在的问题，教学中教师要给学生营造一个平等和谐的空间来展示思维过程，通过学生思维过程的剖析，帮助学生进一步理解知识，顺利完成知识的内化. 不过，在实际教学中，部分教师感觉高中课堂时间宝贵，学生的解题方法多种多样，若让学生一一展示则会消耗较多的时间，这样难以保证教学计划的有效实施，因此他们更愿意将一些典型试题和方法灌输给学生，让学生模仿，以此促使学生掌握相关的解题技能. 但从实际反馈可以看到，靠“灌输”和“题海”并不能让学生很好地掌握解题方法，解题时他们依然漏洞百出. 同时，由于学生的思维过程没有呈现出来，因此教师未能很好地理解学生，学生对教师的解法也似懂非懂，久而久之就出现了“懂而错”的现象. 为了改变这一现象，教师要为学生提供一定的空间和时间使其充分表达，通过互动交流让学生更好地理解“如何分类”“如何分步”“分步是否完整”“分类是否缺漏”……通过多角度剖析原理，培养学生思维的深刻性和严谨性. 错解往往蕴含着丰富的信息，若能让学生充分展示出来，有助于学生找到真正的错因，有助于学生跳出思维误区，提升学生解决问题的能力.

在教学中，教师要多为学生提供一些互动交流的机会，让学生从不同的角度去思考问题，将有助于学生丰富解题经验，深化对问题的理解，同时通过交流可以有效拉近师生的距离，使课堂更具凝聚力.

3. 加强学生思维策略的指导

由于排列组合知识较为独立，与其他高中数学知识没有太多联系，解法也别具一格，很难将已有知识和经验迁移至本章问题的探究中，因此学生的解题经验比较匮乏，这要求教师加强思维策略的指导，以此促进学生分析问题和解决问题能力的提升. 不过，在实际教学中，部分教师过多强调解题技巧，过多关注特殊的解法，忽视对一些通性通法的探究，造成学生缺失普适性思维而使解題方法出现了局限性.

对于计数问题，应关注以下思维策略的指导.

（1）整体思考的策略

对于排列组合问题，教师首先要引导学生站在整体的高度去思考，真正弄清楚要完成什么事情，如何完成，怎样才算真正完成. 只有真正搞清楚问题的来龙去脉，学生才能设计出完整的、合理的解决问题的程序与步骤，进而顺利解决问题.

（2）正反结合的策略

同一问题往往具有不同的两面，计数问题在这方面更为突出. 有时候，若从正面“选纯法”无法找到解决问题的突破口，不妨换个角度，利用“去杂法”来求解，通过正反转化来提升学生的解题效率，优化学生的思维品质.

（3）化抽象为具体的策略

计数问题普遍较为抽象，学生理解起来较为困难，解题时思路容易混乱，从而出现遗漏和重复. 在教学中，教师可以引导学生通过表格、树状图等方式将思维过程更加直观地展示出来，使问题向直观化、具体化转变，有利于问题的解决.

总之，教师不要过多地关注解题技巧，应带领学生深入领悟问题的本质，掌握解决问题的通法，这样学生才能在普适性思维策略的指导下找到合理的解决问题的方法，以此提升思维品质.