数学建模在高中课堂教学中的意义探究与路径形成

［摘  要］ 数学建模的地位至关重要，可以说数学建模无论是在学生知识建构的过程中，还是在数学学科核心素养培育的过程中，都起着承上启下的作用. 对于日常的高中数学课堂教学来说，数学建模的意义在于，其可以促进学生对数学知识的整合，可以让学生更好地发现数学知识间的联系，可以让学生更好地建立起数学知识的认知体系，可以让学生拥有一个更好地运用数学思想方法的空间，可以让学生形成更为高阶的思维能力，还可以促进学生学习品质的提升. 数学模型建立的过程，实际上就是学生运用数学思维，实现自身数学认知发展，进而用数学语言表达数学认知的过程. 因此可以说，数学知识发生的过程越丰富，学生在数学模型形成过程中的体验感越强，数学建模的路径越清晰.

［关键词］ 高中数学；数学建模；课堂教学；意义探究；教学路径

基金项目：福建省2021年常规课题“新高考背景下高中数学建模教学的实践研究”（FJJKZX21-096）.

作者简介：陈钟洪（1982—），本科学历，高级教师，从事高中数学教学工作.

高中数学学科核心素养所明确的六个要素当中，数学建模的地位至关重要，可以说数学建模无论是在学生知识建构的过程中，还是在数学学科核心素养培育的过程中，都起着承上启下的作用. 之所以这么说，是因为从知识建构的角度来看，学生要想建立一个数学概念或数学规律，必然要将相关的数学知识综合起来，必要的时候还会借助生活经验的支撑，这个时候很容易涉及数学抽象与逻辑推理，当然也会涉及知识的综合运用. 因此一个数学模型的建立，肯定会带动数学学科核心素养其他要素的落地，既然数学建模能够起到这样的作用，那么在日常的教学当中，就必须高度重视.

事实上，高中数学教学历来有重视数学建模的传统，在20世纪90年代，曾经有关于学科建模的研究之风，数学学科作为基础性学科，其建模研究起到了一定的引领作用，至今仍然为基础教育研究界所称赞. 今天的高中数学教学面临着双重任务——培养学生的应试能力与发展学生的数学学科核心素养，前一任务关系学生当下的生存，后一任务关系学生未来的发展，两者都很重要. 这对于教师来说，也意味着挑战，如何在教学中协调好两者间的关系，考验着教师的教学智慧. 很显然，要让这两个任务协调完成，最好的办法就是能够设计一个科学的学习过程，而学生在这样的学习过程中，既能够让自己的应试能力得到培养，又能够让数学学科核心素养得到自然的培育.

分析到这里可以发现，数学建模可以很好地承担这一任务，其原因就在于：一旦学生形成了较强的数学建模能力，那么就意味着学生有了较强的数学知识整合能力；一旦学生形成了较强的数学模型运用能力，自然就意味着学生运用模型解答习题就有了很大的可能性. 更为可贵的是，一旦学生形成了较强的建模能力与模型运用能力，那么学生面对新的题型时，会因为数学建模过程中所形成的能力的有效迁移，而具有较强的解决新题的能力. 这对于传统的数学教学来说是一个突破，其有效避免了“讲什么才会什么”的尴尬情形. 所以从这个角度来看，发展学生的数学建模能力就是发展学生的应试能力！与此同时，数学建模本身就是数学学科核心素养的组成要素，而且其综合性极强，因此以数学建模作为突破口，数学学科核心素养落地的可能性更大.

数学建模在高中课堂教学中的意义探究

考虑到传统教学中，发展学生的应试能力是教学的主流，因此本文侧重阐述的是如何通过数学建模来带动数学学科核心素养要素的发展. 对于这一点，首先要阐述的问题就是：面向当下的高中数学一线教师，如何真正形成关于数学建模的理念认同？

这是一个非常实际的问题，尽管从理论的角度来看，数学建模的意义重大，比如李明振、喻平等人明确提出，解析高中数学建模课程实施的背景，揭示实施中存在的问题，探求解决问题的有效对策，对改进高中数学建模课程实施的效果具有重要现实意义［1］. 但是在教学实际当中，一个尴尬的情况就是：绝大多数课堂上教师仍然忽略了数学建模的努力，而是将教学的重心直接落在学生的刷题能力培养上. 有人说这是一个实际问题，是高考的必然走向，在笔者看来，这样的判断固然有道理，但并没有触及实质. 正如前面所分析的那样，即使只考虑学生应试能力的培养，数学建模也能够发挥重要作用，因此与其说这是一个高考评价导向的问题，倒不如说这是一个教师教学理念与教学认识的问题. 换句话说，如果教师真正从理念上认同数学建模的丰富价值，那么其自然就会出现在日常的课堂上. 所以说，探究数学建模在高中数学课堂教学中的意义，进而认同这一意义，是至关重要的一个前提.

笔者以为，对于日常的高中数学课堂教学来说，数学建模的意义在于，其可以促进学生对数学知识的整合，可以让学生更好地发现数学知识间的联系，可以更好地让学生建立起数学知识的认知体系，可以让学生拥有一个更好地运用数学思想方法的空间，可以让学生形成更为高阶的思维能力，还可以促进学生学习品质的提升.

以上六个“可以”，从知识的建构、数学知识之间联系的发现、认知体系的建构、数学思想方法的体验、思维能力的培养、学习品质的提升等角度，阐述了数学建模的意义. 更具体一点说，正是因为数学建模的过程必然涉及已有知识的激活与重组，必然涉及新的知识的生成且最终要以数学语言（文字、图形、图象、公式等）加以陈述，因此思维能力与学习品质会自然得到培养. 由此可见数学建模的综合性之强，功能之强，意义之显著. 由此认识数学建模的意义，自然也就意味着在日常教学当中数学建模具有更强的生命力.

数学建模在高中课堂教学中的路径形成

对于一线教师来说，认同数学建模的意义只是教学实践的第一步，作为最关注“可操作性”的群体，如何寻找到数学建模在高中数学课堂上的有效路径，是一个更为实际的问题. 从学生思维的角度来看，笔者注意到数学模型建立的过程，实际上就是学生运用数学思维，实现自身数学认知发展，进而用数学语言表达数学认知的过程. 因此可以說，数学知识发生的过程越丰富，学生在数学模型形成的过程中体验感越强，那么数学建模的路径就越清晰.

有数学同行尝试通过数学实验来培养学生的数学建模能力，取得了较好的效果. 相关的研究认为，数学实验的核心就是学生主动学数学、用数学，积极参与数学建模中的动手实验，在实验中感知并发现问题、提出问题、分析问题，在建立模型与求解模型中自主独立思考、解决问题，给学生运用所学的数学知识、方法、思想解决问题的锻炼机会. 数学实验可以给学生提供一个更加真实的、能够激活思维的学习情境，而事实上数学建模也确实需要依赖真实情境. 只有在真实的情境当中，才能让学生体验到数学源于生活，认识到知识和技能在未来的学习和生活中的价值，从而在数学知识与问题情境的有效互动中激发学生学习数学的兴趣，提升学生的数学核心素养，培养学生用数学建模解决实际问题的能力［2］. 这里来看一个教学案例：

人教A版高一数学必修一中，有“指数函数”这一内容. 对于这一内容的教学，可以采用数学建模的思路去进行，这是因为函数本身是一个模型，作为函数下位概念的指数函数，既有函数的模型特征，又有属于自身的模型特征. 如果能够让学生体验数学建模的过程，形成关于指数函数的全面认识，那么这样的一个数学建模过程，就可以让学生对指数函数有更加深刻的理解，也可以让学生在数学建模的过程中，更好地体验数学学科核心素养的其他要素. 基于这样的目的，笔者重点设计了这样几个教学环节：

环节一：借助实际问题，让学生在解决问题的过程中初步感知指数函数.

这里可以借助教材上的A，B两个景区，面对旅游人数不断增加，采取不同措施的实际问题，来让学生分析某一时间段内A，B两个景区的游客人次、逐年增加量（具体数据略），发现其中的变化规律.

这些问题来自现实生活，同时又与数学密切相关，学生通过问题的介绍，自然可以发现A，B两个景区采用不同措施后，游客人次（单位：万次）、年增加量（单位：万次）以及时间（单位：年）之间存在着一定的关系，但具体是什么关系，学生不可能一目了然，需要通过这一实际例子的分析，来得出指数函数模型，这必须在下一个教学环节做出努力.

环节二：基于问题解决的思路，通过对已有数学知识尤其函数知识的激活，寻找到发现变化规律的方法.

既然上述实际问题已经指出了游客人次、逐年增加量以及时间之间存在着变化关系，那么要让这些关系凸显出来，学生面前的选择无非是解析式与图象. 很显然，当只有数据时，解析式的发现是很困难的，而借助图象来初步判断变化关系，这是比较常用的方法. 于是多数学生就会想到用描点法作图，也就是以时间为横轴，以游客人次、逐年增加量为纵轴，然后将给出的数据通过找点的方法，在平面直角坐标系上体现出来，最后用平滑的曲线将它们连接起来，就可以发现变量间的函数关系.

由于实际问题所给出的数据的特殊性，学生可以发现A景区的游客人次与时间是线性增长的关系，这是因为画出来的图象是一条直线；而B景区的游客人次与时间则是非线性增长的关系.

当学生有了这一认识后，还有一个重要的问题就是更加精确地发现变化规律，这意味着解析式的探究. 这里仍然要借助数据的分析来进行——此时主要分析的对象是B景区. 这个过程需要学生的高阶思维，需要学生发现相邻年份间的游客人次之比接近于定值. 对于多数学生而言，这一发现是存在困难的，这些困难实际上也就是数学建模的困难. 要突破这一难点，可以让学生同时观察数据以及图象，尤其是从图象的变化趋势上，去猜想数据间可能存在的关系. 只要学生发现“相邻年份间的游客人次之比接近于定值”，那就可以进一步发现：如果经过x年后的游客人次为y，那么y与x之间的关系就是y=ax. 当这一关系被发现，指数函数的图形就出现了.

环节三：用数学语言进一步完善指数函数.

很显然，当学生发现y=ax这一关系式的时候，一方面会意识到y与x之间存在着函数关系，另一方面会发现这一函数关系与此前所学过的函数并不相同. 既然是一个新的函数，那么就要从解析式、定义域、值域、图象等方面去描述. 这对于绝大多数学生而言，已经形成了模式化的认识，因此其后的教学就是引导学生完成这些任务，建立起关于指数函数的全面理解. 如此指数函数这一模型也就建立起来了.

数学建模在高中课堂教学中的教学前景

通过上述案例可以发现，在高中数学教学中，让学生经历一个数学建模的过程，可以最大程度上激活学生已有的数学知识，并且让学生拥有一个整合原有数学知识、获得新的数学知识的体验过程. 这种过程对于学生的数学学习来说，既是学习自主性的充分发挥，又可能获得良好的沟通体验，从而在发展知识理解与运用能力的同时，保证数学学科核心素养的顺利落地.

既然数学建模在高中数学教学中的地位如此重要，那么在日常的教学当中，就应当让学生拥有更多的数学建模的体验. 很显然，这一教学进程的主导权在于教师，教师能否认同数学建模的意义与价值，是否愿意解放学生，并且让学生去体验数学建模的过程，决定着数学建模能否在日常的课堂教学当中顺利落地. 如同前面所阐述的那样，最关键的一点就是教师要解放思想，要形成关于数学建模的普遍认同，要认识到数学建模是解决生活问题的重要手段，掌握有效的数学建模方法，提升学生数学建模素养，是高中数学课程的基本目标［3］. 只有有了这些认识，数学建模的落地才有保证.

此时进一步展望数学建模，笔者认为，未来的高中数学教学一定是围绕数学建模而展开的，数学建模也一定会因为其综合性、承上启下性，而成为高中数学教学的核心要素. 总而言之，数学建模是高中数学学科核心素养之一［4］. 未来的高中数学教学，可以数学建模为核心，去带动其他数学学科核心素养组成要素的落地，从而让学生体验一个从知识走向素养的学习过程.

参考文献：

［1］ 李明振，喻平. 高中数学建模课程实施的背景、问题与对策［J］. 数学通报，2008，47（11）：8-10+14.

［2］ 黄高湧. 通过数学实验教学落实高中数学建模核心素养［J］. 数学通报，2021，60（06）：40-44.

［3］ 汤晓春. 高中数学教学培养学生数学建模素养的实践［J］. 教育理论与实践，2017，37（26）：62-64.

［4］ 高玉珊，凌中華. 高中数学建模教学实践探究——以“线性回归”为例［J］. 中学教学参考，2020（35）：4-5.