一类由α-稳定过程驱动的随机时滞微分方程的LaSalle 不变原理

张振中,陈 旭,童金英

（东华大学 理学院,上海 201620）

0 引言

近年来,随着随机微分方程在生物、工程、自动化等领域的广泛应用,讨论系统的稳定性成为该领域最重要的工作之一.值得注意的是,不可避免的时间延迟往往会破坏一个动态系统的稳定性.故研究随机时滞微分方程的稳定性是相当重要的.自从 Lyapunov 引入了动态系统稳定性的概念,并创造了研究系统稳定性的强大工具: Lyapunov 函数法.在过去的一个世纪里,许多学者[1-2]利用Lyapunov 函数法进行了更深入的研究,特别是用其处理并探讨随机系统的稳定性.这其中一项重要的突破是LaSalle 针对一类常微分方程所建立的,能确定其极限集的LaSalle 不变原理.之后 Mao[1]建立了 LaSalle 原理的随机版本.许多作者将Mao 的工作进行推广,例如,Yin 等[2]给出混杂扩散系统的LaSalle 不变原理.随后,LaSalle 原理的随机版本被推广到了随机时滞微分方程、随机泛函微分方程和随机差分方程中.例如,Li 等[3]引入并改进了随机时滞微分方程的 LaSalle 原理.Shen 等[4]改进了随机泛函微分方程的 LaSalle 原理.Zhuang 等[5]基于 LaSalle 不变原理研究了随机时滞马尔可夫跳跃系统的稳定性.本文主要通过参考 Mao[6]证明 LaSalle 原理的思想,建立由α-稳定过程驱动的随机时滞微分方程的 LaSalle 原理并给出方程在平衡点处稳定性的推论.

虽然布朗运动广泛地用于刻画轨道连续系统,但是许多现实数据所对应的轨道常出现大的跳跃且尾分布呈幂律特征.对于不连续轨道且呈现幂律尾的随机序列用非高斯稳定过程来刻画更合适.因此本文考虑由稳定过程驱动的随机微分方程

其中初值ξ:=x0:={x(θ):-τ≤θ ＜0}为轨道右连左极的随机变量.若方程(1) 有解,记其解为{x(t)}.f和g均为 Borel-可测函数,f:R×R×R+→R 且g:R×R×R+→R.{Z(t)}t≥0表示对称α-稳定过程,α∈(1,2).{Z(t)}对应的 Lévy 测度为

目前关于由对称α-稳定过程驱动的随机时滞微分方程的 LaSalle 原理的研究很少.本文将借鉴Mao[6]对布朗运动驱动延迟方程建立 LaSalle 原理的思想,通过构造 Lyapunov 函数,利用 Itô 公式等方法,建立由α-稳定过程驱动的随机时滞微分方程的 LaSalle 原理,并以此分析随机系统的稳定性.

1 预备知识

C(R;R≥0) 表示所有的非负连续函数f(·):R→R≥0:=R+∪{0}的全体.C2,1(R×R+;R≥0) 表示关于第一个变元二次偏导函数后仍然为连续函数且关于第二个变元一阶偏导数仍为连续函数的非负函数集.L1(R≥0;R≥0)表示所有的非负函数f(·) 的全体,其中

定义 1(i) 对任意的ε,r >0,若存在h>0,使得

则称方程(1) 的零解随机稳定或依概率稳定.

(ii) 若方程(1) 的零解随机稳定且对任意的ε>0 ,若存在h>0,使得

则称方程(1) 的零解随机渐进稳定或依概率渐进稳定.

(iii) 若方程(1) 的零解是随机渐进稳定的,且满足

则称方程(1) 的零解全局随机渐进稳定的.

注 1定义 1 等价于.此外,零解的全局随机渐近稳定性蕴含几乎必然渐近稳定.

对于任意t>0 ,由于随机变量x(t) 依赖于前面的“一列”随机变量{x(s):t-τ≤s ＜t},故{x(t)}本身不是马氏过程.若将每一段过程记为一个随机变量xt:={x(s):t-τ≤s ＜t},则{x(t),xt}为马氏过程.利用相应的马氏过程与半群理论,可写出其对应的算子.

定义 2对任意的V ∈C2,1(R×R+;R≥0) 且V在算子L的定义域内,则过程{x(t),xt}t≥0的算子

引理 1[7]设{η(t)}t≥0是实值连续(Ft) -适应过程,且满足

那么,对任意p ∈(0,α),存在C=C(α,p)>0,使得

引理 2[8]设{A(t)}t≥0和{U(t)}t≥0是两个连续适应增过程且A(0)=U(0)=0 几乎必然成立.令M(t) 为局部鞅且M(0)=0,ζ为非负F0-可测随机变量,定义

即{X(t)}和{U(t)}均收敛于有限随机变量.

为了更好阐述本文主要结果,现做出以下假设.

(H1)f(x,y,t)和g(x,y,t) 关于变量x,y满足全局Lipschitz 连续条件.且假设对任意t≥0 ,f(0,·,t)=0,g(0,·,t)=0 .

条件(H1) 隐含f,g的局部有界性,即∀h>0 ,存在常数Kh >0 ,使对于任意x,y ∈R,

记方程(1)的解为{x(t,ξ)}.若条件(H1)成立,则x(t,0)=0 为方程的解.

(H2) 假设g(x(t),x(t-τ),t) 是实值Ft-适应过程并且满足

2 由 α -稳定过程驱动的随机时滞微分方程的LaSalle 原理

定理 1假设条件(H1)和(H2) 成立,若存在函数V∈C2,1(R×R+;R≥0),γ∈L1(R≥0;R≥0),w1,w2∈C(R;R≥0),使得

式(5)中:d(·,·)表示欧氏空间距离.

证 明本定理的证明思想主要借鉴文献[6],其证明思想为先利用半鞅(特殊半鞅) 的收敛定理,得到一个非负函数的期望为0.再用分析的方法证明被积函数随机变量几乎必然收敛于0.借鉴文献[6],将定理的证明分为 3 步.

由初值的有界性可知,存在一个足够大且依赖于ε的正数h,使得|ξ(θ)|＜h对任意-τ≤θ ＜0 几乎必然成立,即

上式中: 定义 i nf ∅=+∞.根据式(11) 和A1,A2的定义,∀i≥1 ,对任意的ω∈A1∩A2,则有

于是通过式(9)和式(11) 可以得出只要σ2i-1＜+∞,就有σ2i ＜+∞,可得

式(18)中:IA是集合A的示性函数.根据假设(H1) 和引理 1 有

显然矛盾.故式(11) 成立.

第3 步下面将证明 K er(w1-w2)=Ker(w)≠∅ .由式(11)和式(15)可知,存在Ω0⊂Ω有P(Ω0)=1使得

则{x(t,ω)}t≥0在 R 上有界,故一定存在一个增序列{ti}i≥1使得{x(ti,ω)}i≥1收敛于某个y∈R .因此

进一步,可推出y∈Ker(w) ,因此 K er(w)≠∅ .接着证明

这与w(z)>0 矛盾.故式(22) 一定成立.并且,由于P(Ω0)=1,故式(5) 成立.

注 2定理 1 说明了随机时滞微分方程(1) 解的极限集为集合 K er(w1-w2) .该集合隐含解的渐进稳定区域.例如,若已知集合 K er(w1-w2) 仅包含原点,即 K er(w1-w2)={0},此时方程(1) 的解x(t,ξ)会以概率 1 渐进趋于原点.由此可以得出关于方程(1) 的解渐进稳定性的推论.

推论 1假设条件(H1)和(H2) 成立,若存在函数V∈C2,1(R×R+;R≥0) ,γ∈L1(R≥0;R≥0),w1,w2∈C(R;R≥0),使得

注 3定理 1 和推论 1 是对于全空间 R 成立的 LaSalle 原理.成立的前提是LV(x,y,t)≤-w1(x)+w2(y).本质上不带延迟的系统起主要作用,使系统仍然总体耗散.一个自然的问题是,定理 1 的条件若不包含w2(·),是否隐含方程(1) 在平衡点处依概率稳定性的推论? 下面推论将给出部分回答.

在此之前,首先说明方程(1) 解的非零性.

(H3) 假设存在常数c>1 使得|g(x,y,t)z|≥c|x|,对任意x,y,z ∈R{0}成立.

命题 1假设条件(H3) 成立,则方程(1) 从非零(片段序列的随机变量最小值非零)片段初始值出发的任意解的几乎所有样本路径都不会到达原点,即

证 明证明思想借鉴文献[9]中的引理1.假设t0是稳定过程{Z(t)}t≥0的任意跳的时刻,那么方程(1) 等价于

推论 2假设条件(H1)和(H2) 成立.若存在函数V∈C2,1(Br×R+;R≥0),w1∈C(R{0};R≥0),使得

则随机时滞微分方程(1) 的零解全局依概率渐近稳定.

证 明令γ(·):≡0,w2(·):≡0 .由假设(H1)知,LV(0,·,t)=0 .故由定理1 知本结论成立.注意到,由本论文假设可以看出,从任意初始值出发,过程轨道都是朝原点吸引.有这全局耗散的假设,也可以直接仿经典稳定性结论证明[10].对于任意初始片段过程ξ假定在0 点附近的“管道”区域,且离原点还有点距离,即存在充分小的正数h,ε,假定h>ε,|ξ|∈Bh-Bε.定义停时由假设(H3),易证由推广的邓肯(Dynkin)公式[1,9],有

3 举例说明

为了找到由稳定过程驱动方程解过程的稳定性充分条件,关键构造一个合适V函数.并给出在此V函数下,解过程局部鞅矩估计与其对应的LV的估计.本章将利用上述结论,举例阐述以下一维随机时滞微分方程解的渐进稳定性.

式(27)中:µ>0,σ >0 ;{Z(t)}t≥0是对称α-稳定过程.为了得出方程(27)的稳定性条件,先做出以下假设.

(H4) 对任意的α∈(1,2),使得以下不等式成立,

命题 2若假设(H4) 成立,则方程(27) 的零解全局依概率渐进稳定,即

证 明若初始片段过程序列P(ξ ≡0,x(0)=0)=1 ,则P(x(t)≡0,∀t≥0)=1 .显然本结论成立.因此假定初始片段随机变量不恒等于0.由于方程(27) 的漂移项系数与扩散项系数均为线性且为本质上一类几何稳定运动型方程,故方程(27) 满足假设(H1)和(H2).为了给出方程解的稳定性充分条件,尝试V函数:V(x,t)=|x|p,其中p∈(0,1) .由随机分析理论知,方程(27) 的解过程所对应的无穷小算子为

定义函数F1(u)=(1+u)p+(1-u)p-2,u∈(0,1) .根据泰勒公式,有

其中o(p)为关于p的高阶无穷小.由假设(H4)可知

故根据定理1 或推论2,方程(27) 的零解依概率渐进稳定.

因假定µ>0 ,上述条件显然成立.换句话说,若α=2 时,即则延迟方程(27)的零解依概率渐进稳定.当α=2 时,从假设(H4)来看,这个充分条件可以改进.