{A,W}加权核-EP 分解下的矩阵加权Drazin 逆的刻画与表示

胡春梅

（丽江师范高等专科学校 数学与信息技术学院,云南 丽江 674199）

0 引言

目前,Drazin 逆理论已应用于马尔可夫链[1]、线性微分和差分方程组等方面.文献[2]提出了长方矩阵加W-权Drazin 的概念,并对其性质进行了讨论.

对Drazin 逆的表示问题也引起了广大学者广泛的兴趣,这方面的研究主要有: Drazin 逆的表征及刻画,Drazin 逆的迭代表示[3],Drazin 逆的极限表示,Drazin 逆的积分表式等[4].

在Drazin 逆的表示问题中,矩阵的分解成为了一个讨论热点.文献[5]讨论了矩阵的核-EP 分解及它的应用;Ferreyra 等[6]将核-EP 分解推广到长方矩阵中,得到了一种新的分解式,称作加W-权核-EP 分解;文献[7]将此结果应用到矩阵对{A,W}中,给出了矩阵对{A,W}的加权核-EP 分解下的加权Drazin 逆Ad,W的新的表示.

令 Cm×n表示所有m×n阶复矩阵组成的集合.若m=n,则记 Cm×m=Cm.I(m) 表示所有m阶可逆矩阵组成的集合.In表示n阶单位矩阵,一般简记为I.用A∗,σ(A) ,Reσ(A) 和ind(A) 分别表示矩阵的共轭转置,特征值,特征值的实部和指标.

定义1[8]设A∈Cn且ind(A)=k,称满足

的矩阵X∈Cn为A的Drazin 逆,通常记为Ad.

定义2[8]设A∈Cm×n,W∈Cn×m,称满足下列方程的矩阵X∈Cm×n为A的加W-权Drazin 逆:

其中k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.记X=Ad,W.若Ad,W存在,则必唯一.

1 引 理

引 理3[7]设A∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) } ≥ 1 .且A和W如 式(1)所示,则

2 {A,W} 加权核-EP 分解下的 Ad,W 的刻画与表示

定理 1令A∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.则存在唯一的矩阵X ∈Cm使得

也存在唯一的矩阵Y∈Cn使得

由引理1 可得,式(6)中第一个等号后的式子成立,第二个等号后的式子同理可得.

同理可得

由引理1 可得,式(7)中第一个等号后的式子成立,第二个等号后的式子同理可得.

结合定理1 和定理2,可得推论1.

推论 1令A∈Cm×n,W∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) },则下列等式成立:

3 {A,W} 加权核-EP 分解下的 Ad,W 的极限表示

本章讨论{A,W}加权核-EP 分解下的加权Drazin 逆Ad,W的极限表示.

定理 3令A∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.则

其中λ→0 表示λ在复平面上0 的不含-(A1W1)k+1或-(W1A1)k+1的特征值的任一领域中趋于0.

证 明由定理2 可得

因此式(8)成立.同理可证明式(9)成立.

下面,针对定理3 给出一个算例.

例 1令

容易计算得k=max{ind(AW) ,ind(WA) }=3.由引理2 知

4 {A,W} 加权核-EP 分解下的 Ad,W 的积分表示

本章将给出{A,W}加权核-EP 分解下的加权Drazin 逆Ad,W的积分表示.

引理 4[9]令A∈Cn为非奇异矩阵且Reσ(A)>0,则

定理 4令A∈Cm×n,W ∈Cn×m,k=max{ind(AW) ,ind(WA) }并且Reσ((AW)k+1)>0,Reσ((WA)k+1)>0 .则

从而式(10)成立.同理可证明式(11)成立.