一类具有导数型非线性项的弱耦合半线性双波动系统解的爆破

欧阳柏平

（广州华商学院 数据科学学院,广州 511300）

0 引言

考虑下面具有导数型非线性项的弱耦合半线性双波动系统柯西问题解的爆破式(1)中:u,v为实值函数;q,p>1;ε>0;Δ 是拉普拉斯算子;ui,vi(i=0,1,2,3) 为非负函数;utttt-2Δutt+Δ2u.

近几十年来,有关具有导数型非线性项的波动方程和波动系统柯西问题解的爆破现象受到了学者们广泛关注.文献[1-4]研究了下面导数型半线性波动方程

得到了柯西问题临界指数,也称为Glassey 指数,表示为

当n=1 时,PGla(1)=+∞.进一步,作者得到了其解的生命跨度估计,即

文献[5-7]研究了下面导数型非线性项的弱耦合半线性波动系统解的存在和爆破问题

当初始数据满足一定约束条件时,若p,q >1 且满足

则(u,v) 将在有限时刻爆破,同时还得到了其生命跨度的上界估计.

文献[8]研究了如下导数型非线性项的半线性双波动方程柯西问题解的爆破

通过运用迭代技巧和相关的微分不等式方法,得到了其柯西问题解的爆破及其生命跨度上界估计.

目前,有关具有导数型非线性项的高阶波动方程和波动系统柯西问题解的爆破研究成果很少.相比于近期的研究工作[8],本文探讨的是在弱耦合双波动系统中,导数型非线性项对柯西问题解的爆破以及生命跨度的影响.当p=q时,式(1)在一定程度上退化为单个导数型非线性双波动方程.当p≠q时,式(1)的等号右端出现了弱耦合现象,这样直接导致临界曲线的非对称区域很复杂.另外,与经典的弱耦合波动方程的研究相比[1-7],本文会出现关于时间的高阶导数和无界乘子.特别地,无界乘子的出现使得经典的反射法和迭代法等技巧难以运用.

1 主要结果

首先给出式(1)的柯西问题弱解定义.

定义1设(u0,u1,u2,u3,v0,v1,v2,v3)∈(H3(Rn)×H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H3(Rn)×H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).称(u,v) 为式(1)在 [0,T) 上的能量弱解,如果

那么存在一个正常数ε0=ε0(u0,u1,u2,u3,v0,v1,v2,v3,n,p,q,R),使得当ε∈(0,ε0] 时,(u,v) 在有限时间爆破,其生命跨度的上界估计为

2 定理的证明

为了完成本文定理的证明,需要构造若干辅助泛函,然后进一步寻找其下界序列以及第一下界.为此,先引入函数[9]

易知,当j=1 时,式(29)和式(30)成立.若式(29)和式(30)对j≥1 均成立,下证对j+1 一样成立.

联立式(21)和式(30),有

令j→+∞,可得式(47)中U(t) 的下界爆破.

另外,对于给定的ε0,当Y2(n,p,q)>0 时,有

由以上讨论可知式(1)的全局解不存在,并且可得(u,v) 的生命跨度估计为

于是,完成了定理1 的证明.