含逻辑联结词问题的求解策略

胡 杰

(安徽省灵璧县第一中学)

在高中数学中,可以判断真假的语句叫做命题,“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词,常见的有两种命题,即全称量词命题p:∀x∈M,p(x),存在量词命题p:∃x∈M,p(x).

1 含全称量词命题的判断

①对于任意实数x,都有x2＋sinx＞1;

②对任意的实数a,b,若都有a4＞b4,则a＞b;

④存在一条直线与已知直线不平行.

A.1 B.2 C.3 D.4

2 含存在量词命题的判断

①有一些双曲线的开口方向向左;

②存在整数n,使n能被2022整除;

③有的旋转体是球体;

④存在一个负数x,使.

A.1 B.2 C.3 D.4

3 全称量词命题的否定

4 存在量词命题的否定

A.任意实数x满足x2＋2x＋2＜0

B.任意实数x满足x2＋2x＋2≥0

C.任意实数x满足x2＋2x＋2≤0

D.存在实数x0满足

5 含“或”“且”“非”的命题的真假判断

A.(¬p)∨qB.p∧q

C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)

因为f(x)＝ex＋x2,所以f′(x)＝ex＋2x,令h(x)＝ex＋2x,则h′(x)＝ex＋2＞0在R 上恒成立,所以h(x)在R上单调递增,又因为

6 全称量词命题的应用

A.(－∞,5] B.[6,＋∞)

C.(－∞,3] D.[3,＋∞)

易知函数y＝2x＋x在[1,2]上单调递增,则当x＝1时,y＝2x＋x取最小值,所以a≥2＋1＝3.从而实数a的取值范围为[3,＋∞),故选D.

7 存在量词命题的应用

A.m＜1 B.m≤1

C.m＞1 D.m≥1

8 全称量词与存在量词的综合应用

命题p:∀x∈[0,1],ex－a≥0为真命题,等价于a≤ex在x∈[0,1]上恒成立.因为y＝ex在[0,1]上是增函数,所以当x∈[0,1]时,ex≥e0＝1,则a≤(ex)min＝1,所以a≤1.

命题q:为假命题,则¬q:为真命题,所以.

又因为p∧(¬q)为真命题,所以实数a的取值范围是,故选D.

(完)