也谈比较大小仍可以“小题小做”

岳昌庆

(北京师范大学出版集团)

比较大小问题在高考中的考查热度一直持续不减,从单一的知识考查,到如今的多知识融合的综合性考查,求解方法也从常规的作差法和作商法,过渡到借助函数、不等式以及导数等进行知识和技巧的双重运用,《高中数理化》杂志2022年第12期刊文《比较大小也可以“小题大做”》便是这类文章中的一篇.笔者有所感想,特和文一篇《也谈比较大小仍可以“小题小做”》.

以往三个数比较大小,在教材及教学中也有考查函数的,但仅是一般意义与层次上的.

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

简解考查函数y＝0.6x,则a＞b,考查函数y＝x0.6,则a＜c,所以b＜a＜c,故选C.

由不等式的性质有作差法、作商法(同正或同负时),也有可供操作的“程序”,如与“0”“1”比较等.

A.a＜b＜cB.c＜a＜b

C.b＜c＜aD.a＜c＜b

简解显然a＜0,b＞1,0＜c＜1,故选D.

本文另辟蹊径用“估算”来解决一类比大小问题,大有“化腐朽为神奇”的功效,建议读者认真阅读.

数学学科六大核心素养之一的“数学运算”进一步发展了数学运算能力,包括估算、近似计算等.但长期以来,高中数学教学中忽视这方面能力的培养,好像这只是义务教育阶段的事情,已在义务教育阶段完成了任务,高中阶段可以“不屑一顾”了.殊不知,估算、近似计算也是伴随学生数学学习的全过程的.一些问题的解决不一定非要数形结合、构造函数研究单调性等,有时用估算、近似计算有“柳暗花明”之感,大有“相见恨晚”之叹.原来大可不必“大动干戈”、大费周章地去将函数考查个遍.

本文仅以lg2≈0.3,lg3≈0.48≈0.5,lg5≈0.7解决比较大小问题为例.

A.a＞c＞bB.b＞c＞a

C.c＞b＞aD.c＞a＞b

简解由换底公式得

显然c＞a＞b,故选D.

2)本题取lg3≈0.5即可,以方便作答.

3)高考是一个计时练习:单位时间内完成相同数量的题目.在一些题目上节约了时间,才能为其他题目留出足够的思考、作答时间.

4)估算、近似计算是运算能力的一部分,殊途同归,不一定非要考查“高、大、上”的数形结合、考查函数不可,没准命题专家就是这个本意呢.

5)有经验的数学老师会要求自己的学生能够脱口而出1～25 的平方,1～10 的立方,的近似值,像小学时的乘法口诀表一样.

6)若在高考这种“高利害”考试中,对“lg2≈0.3,lg3≈0.5,lg5≈0.7”不太放心,不妨可以再精确一点:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg5≈0.6990.一般情况下,就不会再出意外了.

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.b＜a＜c

简解由换底公式得

又lge＞0,所以c＜a＜b,故选C.

2)分母上的“lge”的值为正,至于具体是多少,不影响此题作答.也有老师要求学生脱口而出lge≈0.4343.

3)本题取lg3≈0.48,以方便作答.

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

简解由换底公式得

由134＜85,得4lg13＜5lg8＝15lg2,即

2)其他考查函数及均值不等式等方法不再赘述.

每一种方法都是会有一定的局限性.此法(估算、近似计算)仅适合于已知与lg2,lg3,lg5等相关的问题.可以在做题时,优先“扫描”是否可以用此法.若能用,则优先使用此法;若不能用,则马上再调用其他方法,也不会浪费太多的时间.也可以一部分用“估值法”,一部分用其他方法.

A.a＞0＞bB.a＞b＞0

C.b＞a＞0 D.b＞0＞a

简解由已知得,所以a＝,设a＞0,则,即,即lg9lg11＜1.另一方面,由均值不等式

故a＞0 成立.,设b＞0,则,即,即3lg2＞(2lg3)2,即3×0.30＞4×(0.48)2,显然不成立,故b＜0,所以a＞0＞b,故选A.

链接练习

1.(2018年全国Ⅲ卷理12)设a＝log0.20.3,b＝log20.3,则( ).

A.a＋b＜ab＜0

B.ab＜a＋b＜0

C.a＋b＜0＜ab

D.ab＜0＜a＋b

A.c＜b＜aB.b＜a＜c

C.a＜c＜bD.a＜b＜c

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

4.(2013年新课标Ⅱ卷理8)设a＝log36,b＝log510,c＝log714,则( ).

A.c＞b＞aB.b＞c＞a

C.a＞c＞bD.a＞b＞c

5.(2019年天津卷理6)已知a＝log52,b＝log0.50.2,c＝0.50.2,则a,b,c的大小关系为( ).

A.a＜c＜bB.a＜b＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

链接练习参考答案

1.B.2.C.3.C.4.D.5.A.

(完)