利用导数的几何意义求切线方程

陈泽梁

(浙江省岱山中学)

从近三年高考情况来看,导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容一直是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,有时也会作为解答题中的一问.解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则,要会求简单复合函数的导数.本文将求解切线方程分为已知切点和未知切点两大类,介绍了解题步骤并展示了相关高考真题的解答过程,供读者参考.

1 已知切点P(x0,y0),求y＝f(x)的切线方程

已知切点P(x0,y0),欲求y＝f(x)的切线方程,可以用如下方法解题.

第一步:利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求函数f(x)的导数;

第二步:求切线的斜率f′(x0);

第三步:写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).

令x＝0,得,所以点M的坐标为,所以

又因为x1＜0,所以的取值范围为(0,1).

2 已知切线上某一点P(x0,y0)(非切点),求y＝f(x)的切线方程

已知切线上某一点P(x0,y0)(非切点),欲求y＝f(x)的切线方程时,可以用如下方法解题.

第一步:设切点的坐标为P′(x1,f(x1));

第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1);

第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;

第四步:将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.

y′＝(x＋1＋a)ex,

设切点为(x0,y0),则,切线的斜率为,切线方程为

(1)若x1＝－1,求a;

(2)求a的取值范围.

(2)由题意知f′(x)＝3x2－1,则y＝f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为1)(x－x1),整理得.

设该切线与g(x)相切于点(x2,g(x2)),由题意知g′(x)＝2x,则g′(x2)＝2x2,则切线方程为

可得

h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1).

令h′(x)＞0,解得或x＞1;令h′(x)＜0,解得或0＜x＜1,故h′(x),h(x)的变化情况如表1所示,因此h(x)的值域为[－1,＋∞),故a的取值范围为[－1,＋∞).

表1

3 变式练习

变式(2016年四川卷理9)设直线l1,l2分别是函数

图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ).

A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,＋∞) D.(1,＋∞)

由已知得k1k2＝－1,即.所以切线l1的方程为,切线l2的方程为,即y－lnx1＝).分别令x＝0,得A(0,－1＋lnx1),B(0,1＋lnx1).又l1与l2的交点为,所以

因为x1＞1,所以.

求解切线方程问题,首先要分辨已知点是否为切点,同时还要熟练掌握导数的求导法则.在涉及含参问题时,学生应学会利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.

(完)