聚焦复数的典型题型

张 钢

(江苏省无锡市第六高级中学)

近几年高考对复数的考查,大都集中在第1题或第2题,分值5分,难度较低,主要考查复数的运算、复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等.

1 复数的基本概念

复数的概念是掌握复数的基础,要认清复数类型的充要条件,以便于快速准确地解题.

A.a＝1,b＝－2 B.a＝－1,b＝2

C.a＝1,b＝2 D.a＝－1,b＝－2

变式(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( ).

A.若x,y∈C,则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1

B.(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数

D.当m＝4 时,复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数

综上,选BD.

2 复数相等的应用

复数问题实数化是解决复数相等问题基本的思想方法,解决的依据是复数相等的充要条件.

A.a＝1,b＝－3 B.a＝－1,b＝3

C.a＝－1,b＝－3 D.a＝1,b＝3

变式(多选题)已知z1,z2为复数,下列命题不正确的是( ).

A.若z1＝z2,则|z1|＝|z2|

B.若|z1|＝|z2|,则z1＝z2

C.若z1＞z2,则|z1|＞|z2|

D.若|z1|＞|z2|,则z1＞z2

3 复数的四则运算

复数的四则运算是复数这一章节的核心内容,复数的加减运算是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比分式的分母有理化.

变式(2022年北京卷2)若复数z满足i·z＝3－4i,则|z|＝( ).

A.1 B.5 C.7 D.25

方法2由于i·z＝3－4i,故|i·z|＝|3－4i|,则,即|z|＝5,故选B.

4 复数的几何意义

复数的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现,它们可以相互转化,涉及的主要问题有复数的概念、复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等,复数加法、减法的几何意义可按平面向量加法、减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.

变式在复平面中,已知点A(－1,0),B(0,3),复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,且满足|z1|＝|z2|＝2,|z1－z2|＝4,则的最大值为_______.

(完)