基于扩张状态观测器的单电感双输出Buck 变换器滑模解耦控制

2023-03-08皇金锋张世欣杨艺

湖南大学学报（自然科学版） 2023年2期

皇金锋，张世欣，杨艺

（陕西理工大学电气工程学院，陕西汉中 723001）

随着便携式设备的发展，因其内部器件小型化、功能模块集成度高，人们对多路模块供电的方案越发关注，单电感双输出（Single-Inductor Dual-Output，SIDO）变换器仅使用一个电感的情况下可以将一路输入电压转换为两路输出电压，因此采用SIDO 变换器供电具有减小体积和提高效率的优势［1］.相较于传统的单电感单输出变换器，SIDO 变换器的主路及两支路均有独立的控制开关且支路间存在较复杂的耦合关系，当一条支路输出由于负载跳变而发生变化，电感向另一条支路提供的能量也会随之发生变化，这将会影响系统的稳定性，同时产生严重的交叉影响［2-3］.因此，如何优化控制策略进一步提高SIDO 变换器的动态性能、减小交叉影响，目前已成为研究学者关注的热点［4-5］.

SIDO 变换器是一个时变非线性系统，工作在连续导电模式（Continuous Conduction Mode，CCM）时两条支路始终处于耦合状态，当输入电压、温度、负载及其他因素带来不确定性扰动时，会对系统性能产生严重影响.针对这种强耦合的非线性系统，采用非线性控制方法可以很好地提升系统动态性能和控制精度.目前，许多非线性控制被应用于单输入单输出变换器上，如反步法控制、自抗扰控制、滑模变结构控制等［6-10］.但关于SIDO 变换器的非线性控制目前研究报道较少.

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）作为非线性控制的一种，由于抖振和输出误差问题而限制了其控制效果.扩张状态观测器（Extended State Ob⁃server，ESO）作为一种干扰估计技术，用于观测系统的状态变量和干扰量，并利用观测值在前馈通道进行补偿，可以很好地改善系统的性能.由于滑模的抖振问题也归因于扰动，因此将ESO 与滑模相结合的方法可以弥补滑模控制存在的缺陷，进一步提升控制性能.文献［7］提出将ESO 和滑模控制相结合的方法应用在Buck 变换器上，提升了系统的响应速度和抗干扰能力；文献［8］在文献［7］的基础上提出一种应用于Buck 变换器的降阶观测器结合滑模的控制方法，降低了ESO 的增益，优化了噪声问题；文献［9］提出将变速趋近律滑模结合扰动观测器应用在Buck变换器上，减少了控制参数并削弱了抖振.以上所述策略均能使低阶的单输入单输出系统具备良好的动态性能和抗扰能力，但应用在高阶多输出系统上，不仅增加了观测器的阶数，而且系统的耦合性也造成了控制算法复杂、参数难以整定的问题.

自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Con-trol，ADRC）作为以ESO 为核心的控制方法，不需要被控对象的精确模型，在复杂的高阶系统控制方面具有一定优势.文献［10］提出超扭曲滑模和ADRC组成双闭环控制输出串联Boost 变换器，通过ESO 将未建模部分及内外扰动视为总扰动，利用外环PD 控制器进行反向补偿，从而做到了对总扰动的整体消减；文献［11］提出对小型压水堆基于传递函数进行ADRC 解耦控制，解决了压水堆稳压器压力和水位之间的耦合问题；文献［12］针对双旋翼矢量飞行器姿态间耦合严重、抗扰能力弱的问题，提出一种自抗扰解耦控制方法.根据文献［11］、文献［12］可知，对于高阶多输出系统，ADRC 可以将每个输入与输出相互对应，经过控制参数优化，输出之间的交叉影响（耦合）被当作独立控制回路的总扰动进行观测并整体抵消，因此ADRC 具有天然的解耦性.综上所述，将ESO 与滑模控制相结合同时引入ADRC 进行解耦的控制思想，符合SIDO 变换器非线性、支路耦合的特性.

为了进一步提高SIDO 变换器的动态性能，减小支路间的交叉影响.本文以CCM SIDO Buck 变换器为对象提出了一种基于ESO 的滑模解耦控制策略.针对支路间存在的耦合性，采用主路ESO 估计负载扰动并补偿给反步滑模控制器（Backstepping Sliding Mode Control，BSMC），并结合改进型趋近律优化滑模的抖振问题和抗扰能力，以减少a支路受到支路间负载突变带来的影响；对b 支路使用滑模自抗扰控制器（Sliding Mode and Active Disturbance Rejection Control，SM-ADRC）进行独立控制，消除了b 支路模型中支路耦合项与内外干扰组成的总扰动，同时进一步减少了b 支路扰动对a 支路的交叉影响.最后，仿真验证了控制算法的有效性.

1 CCM SIDO Buck变换器建模

SIDO Buck 变换器的电路拓扑如图1 所示.其中，Vin为输入电压，VTi为主路功率开关管，VTa和VTb为支路功率开关管，L为主路电感，iL为电感电流，VD为续流二极管，Ra、Rb为两支路的负载等效电阻，Ca、Cb为实际输出电容，di、da和db分别为驱动功率开关管VTi、VTa和VTb的占空比.

图1 SIDO Buck变换器电路拓扑Fig.1 SIDO Buck converter circuit topology

由图1 可推导出SIDO Buck 变换器的状态空间平均模型为：

式中，voa、vob为两支路输出电压暂态值，当变换器工作于CCM时，两支路占空比互补即满足：da+db=1.

根据文献［13］可知，CCM SIDO Buck 变换器两支路输出电压稳态值Voa、Vob的表达式为［13］：

分析式（2）可知，两支路输出电压与主、支路的占空比、两支路负载均有关系.当其中一支路负载值改变时，另一支路输出电压大小也会改变.针对支路间的耦合性而产生的交叉影响，如何设计控制算法进行解耦存在一定的难度.

2 CCM SIDO Buck控制器设计

基于ESO 的CCM SIDO Buck 变换器滑模解耦控制框图如图2 所示.由于该变换器存在多个开关管，控制复杂.因此，下文对主路开关管和支路开关管分别进行控制器设计.

图2 基于ESO的滑模解耦控制框图Fig.2 Block diagram of sliding mode decoupling control based on ESO

2.1 主开关控制器设计

主路开关管VTi用于控制a 支路电压，首先对系统模型考虑负载扰动项进行状态变换建模，基于偏差状态模型，分别设计反步滑模控制器和主路ESO.

2.1.1 状态变换建模

定义a、b支路电压偏差x1、x3为：

式中，varef、vbref分别为a、b支路参考电压.

以a支路为例，结合式（1）和式（3）可得：

根据式（1），定义x2为：

根据式（4）和式（5）可将a支路偏差模型改写为：

同理，b支路偏差模型可改写为：

2.1.2 反步滑模控制器设计

a支路采用反步滑模控制，其思想是把控制器分为两个子系统，并设计虚拟控制量为子系统引入静态补偿，使子系统之间逐步递推并达到稳定，最后形成主开关管VTi的控制律di.具体设计可分为两步：

第一步：定义a支路跟踪误差ξ1为：

定义Lyapunov函数V1为：

引入虚拟控制量ξ2可得：

式中，α为正的常数.

对式（9）求导并将式（10）代入可得：

第二步：结合滑模变结构控制定义滑模面S=ξ2.将式（6）代入式（10）可得：

定义Lyapunov函数Vi为：

式中，V2=0.5S2.

对式（13）求导可得：

选取改进型趋近律为：

式中，0 <τ<1，k1>0，自适应函数f(S)的形式为：

式中，γ>1，ε>0，k2>0.

式（15）中sigmoid（S）函数的形式为：

式中，κ>0.

图3 为两组函数的图像对比，其中图3（a）所示为函数（|S|+1）-ε|S|与函数e-ε|S|的图像对比，图3（b）所示为连续函数sigmoid（S）与符号函数sign（S）的图像对比.

图3 函数图像对比Fig.3 Function image comparison

分析式（16）和图3（a）可知，函数（|S|+1）-ε|S|随着|S|增大而趋近于0，随着|S|减小而趋近于1.与文献［15］中的函数e-ε|S|相比，当ε取值相同时，|S|增大，两个函数的收敛特性相似，均可以让f（S）很快地趋近γk2，使得状态量趋近速度加快.当系统状态接近滑模面时，即|S|在接近0 的过程中，函数（|S|+1）-ε|S|接近1 的趋势更平缓，状态量趋近速度也较慢，使得函数f（S）具有更好的调整性能.

分析式（17）和图3（b）可知，改变κ的值，即可改变函数sigmoid（S）的斜率，当κ取值越大时，图像越接近符号函数sign（S），且当S为0时，函数sigmoid（S）不会出现无法取值的情况，改善了原本切换控制的非连续性，抑制了抖振.

滑模在改进型趋近律与指数趋近律作用下的运动特性对比如图4所示，其中指数趋近律表达式为：

分析式（18）和图4 可知，当系统状态离滑模面较远时，指数项k1S起主导作用.当系统状态接近滑模面时，由于切换函数sign（S）始终存在增益k2，指数趋近律最终将在原点附近形成抖振.而改进型趋近律在接近滑模面时由f（S）|S|τsigmoid（S）起主导作用，趋近轨迹为光滑连续的曲线，并且随着滑模运动越接近原点，趋近速度越慢，切换函数sigmoid（S）的增益也随着x1的减小而最终趋近于0.

图4 滑模运动特性图Fig.4 Sliding mode motion characteristic diagram

注1趋近律参数主要包括k1，τ，k2，γ，ε.系统状态远离滑模面时，根据系统的动态表现，适当增大指数项系数k1的值可以提升系统的快速性.幂次项参数选取为0<τ<1，可以保证当系统状态接近滑模面时，有较小的控制增益，以降低抖振.而增大k2、γ可以提升趋近速度，但同时会增加抖振的产生，因此取值不宜过大.ε的大小调整（|S|+1）-ε|S|趋近于0 的速度，决定了f（S）调整的范围，考虑变换器具体工作情况，ε的值不宜过小.

由于式（14）中包含未知扰动项以及模型参数偏差，因此需建立主路ESO 对式中变量进行观测并补偿至控制律中，从而可提升系统性能.

2.1.3 主路ESO设计

根据式（6）和式（7）列写主路ESO可得：

式中，z1，z2分别为a 支路偏差模型状态变量x1和有界负载扰动f1（t）的观测值，z3，z4分别为b支路偏差模型状态变量x3和有界负载扰动f3（t）的观测值，β=［β1，β2，β3，β4］为观测器的增益值且β1=β3>0，β2=β4>0.

观测器增益β的大小会影响系统的抗干扰能力，因此选取合适的增益组合可以保证β取值都在可行范围内.根据式（19），以a 支路偏差模型观测器为例，将其改写成如下形式：

根据式（20）将观测器的两个极点配置到左半平面可得：

式中，E0为单位矩阵，ω0为主路ESO的带宽.

根据式（21）可将观测器增益β对应配置为：

若观测器增益基于系统开关频率进行整定，则观测值可对状态变量和干扰项保持良好的跟踪效果，即z1→x1，z2→f1（t），z3→x3，z4→f3（t）.主路ESO 的误差分析方法同文献［7］，在此不再赘述.

根据式（12）～（17）以及式（6）、式（19），可得主开关管控制律di为：

式中，z5为x2的观测值.

综上所述，CCM SIDO Buck 变换器主路ESO+BSMC控制框图如图5所示.

图5 主路ESO+BSMC控制框图Fig.5 Main circuit ESO+BSMC control block diagram

2.1.4 主路控制系统稳定性分析

引理1对于如下连续光滑的双曲正切函数：

式中，ϖ>0，ϖ值的大小决定了双曲正切函数拐点的变化快慢.

根据双曲正切函数的性质可得：对于任意x∈R，存在常数ϖ>0使得如下不等式成立［16］：

式中，μ=0.2785.

引理2对于任意实数xi，如果存在h∈（0，1），则有如下不等式成立［17］：

引理3有限时间Lyapunov 稳定性定理针对如，x∈Rn这样的非线性系统，且f（0）=0，假设存在连续可微的正定函数V（x），标量λ>0，0<υ<1且0<ζ<∞，使得式V(x) ≤-λVυ(x) +ζ成立，则可以说系统是实际有限时间稳定的（Practi⁃cal Finite-time Stable，PFS），且收敛时间Treach为［18］：

式中，0 ≤θ0≤1，V（x0）为V（x）的初始值.

注2对于DC-DC 变换器系统，ESO 对于系统的状态变量和扰动项的估计误差均为有界的［7-8］.

定理1针对CCM SIDO Buck 变换器（1），在改进型趋近律（15）、扩张状态观测器（19），反步滑模控制器（23）的作用下，变换器主路控制系统是实际有限时间稳定的，并且a支路输出电压最终收敛于期望值附近.

根据式（17）可知，sigmoid（S）函数的表达式为：

根据式（24）可知，tanh（S）函数的表达式为：

根据引理1 并结合式（29）与式（30）可知，对于sigmoid（S）函数有如下不等式成立：

将式（31）代入式（28），则有如下不等式成立：

依据基本不等式定理，式（32）可转化为：

式中，σ3=min(σ1，σ2).

根据引理3 和式（34）可知，系统是实际有限时间稳定的，且收敛时间Treach为：

系统的状态变量会在有限时间内收敛到如下的一个稳定域Θ内：

即存在滑模面的一个邻域Δ，符合：

令S≤ Δ，根据式（6）、式（8）和式（37）可得：

求解式（38）可得：

根据式（39）可知，若α取值足够大，则当t→∞时，有x1（t）→0，即a 支路输出电压voa最终可收敛至a支路参考电压varef附近.

2.2 支路开关控制器设计

支路开关管VTb用于控制b 支路电压，由于支路间具有参数耦合性，支路控制器的思想是将b 支路从系统中独立出来，完成输入输出回路的一一对应，并将所得控制律db与主路控制器协调完成总体控制.因此根据ADRC 不依赖对象模型的特点［19］，首先对b 支路建立拟合模型，而后基于拟合模型建立支路ESO，最后以支路ESO 为框架设计滑模自抗扰控制器.

2.2.1 支路系统的拟合

依据自抗扰范式可定义b支路二阶系统为：

式中，ω=f(φ，d，t) +(b-b0)u即需要的总扰动；φ为b 支路的输出电压vob，u为b 支路的驱动信号db，b为控制量增益的精确值，f(φ，d，t)为系统内支路间耦合产生的时变动态与外部扰动的综合特性；由于b的取值不易获取，便将易得的估计值b0作为控制量增益.

利用状态平均法对变换器进行小信号建模，可得b支路控制-输出的传递函数为［13］：

式中，a0～a3，c0～c2如下：

参考式（40）形式，式（41）可以对照改写为：

式中，根据式（40）可知，b0=c1/a3，ω=-a1φ/a3.

2.2.2 支路ESO设计

与第2.1.3 小节设计主路ESO 不同，支路ESO 须对输出项和总扰动项进行观测.定义b 支路状态变量为：

b支路拟合系统模型可以写为：

根据式（44），设计支路ESO为：

式中，θ=［θ1，θ2，θ3］T；θ1，θ2，θ3分别为b支路系统输出φ、输出的导数和总扰动ω的观测值；e1=η1-θ1=φ-θ1为支路ESO 的观测误差；L=［l1，l2，l3］T为观测器的增益.

对式（45）进行拉普拉斯变换可得ESO 的特征多项式，并与观测器带宽进行配置可得：

式中，ω1为支路ESO 的带宽，观测器增益可对应配置为l1=3ω1，l2=3ω12，l3=ω13.若观测器增益基于系统开关频率进行整定，则观测值可对输出量和总扰动量保持良好的跟踪效果，即θ1→η1，θ2→η2，θ3→η3.

注3ESO 通常使用3～5 倍系统穿越频率配置观测器带宽，使得ESO 的观测速率远高于系统运行速率，进而可以通过对干扰和状态量的估计进行前馈补偿，在控制中起到消除稳态误差以及减少扰动影响的作用［20］.

2.2.3 滑模自抗扰控制器设计

定义b支路输出跟踪误差为：

对式（47）分别求一阶和二阶导数可得：

选取滑模面S1为：

滑模趋近律选为：

式中，w1>0，w2>0.

根据式（47）～（50）可得支路开关控制律为：

注4b0作为观测器的扰动补偿因子，取值过大或过小都会影响补偿效果和动态性能，所以根据式（42）由电路参数初步取值后，再根据系统的响应速度在此基础上逐步调整.

根据式（45）可知，b支路拟合系统模型中扩张出代表扰动的状态变量η3（即ω）被ESO 的状态变量θ3跟踪，将式（51）代入式（44）消减总扰动η3（即θ3），原对象被简化为积分串联型系统，即：

式中，u0=-w1S1-w2sign(S1)-cθ2.

综上所述，CCM SIDO Buck 变换器支路SM-ADRC控制框图如图6所示.

图6 支路SM-ADRC控制框图Fig.6 Branch SM-ADRC control block diagram

2.2.4 支路控制系统及支路ESO稳定性分析

定义Lyapunov函数V3为：

对式（53）求导可得：

定义支路ESO跟踪误差为：

式中，ea、eb、ec为观测值与实际值之间的误差.

将式（55）拉普拉斯变换可得支路ESO 误差系统特征方程为：

分析式（56）可知，特征方程的特征根都位于s平面的左半平面，因此，支路ESO 误差系统稳定.由拉普拉斯变换的终值定理可知，当t→∞时，式（56）中的观测误差趋于0.

3 仿真分析

为了验证控制算法的有效性，在PSIM 仿真软件中对CCM SIDO Buck 变换器分别搭建了本文控制策略和共模-差模电压型（Common Mode Voltage and Differential Mode Voltage，CMV-DMV）控制［21］的仿真电路，其仿真的电路参数为：Vin=30 V，R0a=10 Ω，R0b=20 Ω，varef=10 V，vbref=20 V，fs=100 kHz，L=50 μH，Ca=Cb=300 μF；控制器参数如表1所示.

表1 本文控制策略参数Tab.1 Control parameters of this article

3.1 本文控制策略与CMV-DMV控制仿真对比

3.1.1 负载扰动对比

为了对比两种控制策略在负载扰动下支路间的交叉影响，选取了a、b 支路扰动下的输出电压波形，分别如图7、图8所示.

图7 a支路负载扰动时两种控制策略仿真对比Fig.7 Simulation comparison of two control systems when a branch load is disturbed

图8 b支路负载扰动时两种控制策略仿真对比Fig.8 Simulation comparison of two control systems when b branch load is disturbed

分析图7 可知，在0.04 s 时刻，a 支路负载加重，输出电流从1 A 变为2 A；在0.05 s 时刻，a 支路负载减轻，a 支路输出电流从2 A 变为1 A.CMV-DMV 控制下的变换器a 支路自身扰动造成的最大超调为2.2 V，b 支路电压vob受到a 支路负载变化造成的最大超调为1.6 V.而本文控制策略下的变换器a 支路自身扰动造成的最大超调为0.035 V，b 支路电压vob受到a支路负载变化造成的最大超调为0.06 V，可以看出主路ESO+BSMC明显提升了a支路的抗扰能力.

分析图8 可知，在0.07 s 时刻，b 支路负载加重，输出电流从1 A 变为2 A；在0.08s 时刻，b 支路负载减轻，b 支路输出电流从2 A 变为1 A.CMV-DMV 控制下的变换器b 支路自身扰动造成的最大超调为1.6 V，a支路电压voa受到b支路负载变化造成的最大超调为1.3 V.而本文控制策略下的变换器b 支路自身扰动造成的最大超调为0.025 V，a 支路电压voa受到b 支路负载变化造成的最大超调为0.015 V，可以看出支路SM-ADRC控制使得b支路对a支路基本无交叉影响，仅为电压纹波量变化.

3.1.2 输入电压扰动对比

为了对比两种控制策略在输入电压扰动下的动态性能，两种控制策略仿真输出波形如图9所示.

图9 输入电压扰动时两种控制策略仿真对比Fig.9 Simulation comparison of two control systems when power supply voltage is disturbed

分析图9 可知，在0.06 s 和0.08 s 时刻分别对变换器进行-5 V 和+10 V 输入电压扰动.CMV-DMV 控制下的变换器两支路电压受到输入电压扰动造成的最大超调为2.4 V，且在0.08 s 时刻输入电压从25 V升至35 V 时调整幅度明显更大.而本文控制策略下的变换器两支路输出电压受到输入电压扰动造成的最大超调为0.01 V，且在0.06 s 和0.08 s 时刻两次扰动下造成的超调量和调整时间相近.因此，本文控制策略控制CCM SIDO Buck 变换器具有更优秀的鲁棒性和动态性能.

3.2 ESO对控制的效果对比

3.2.1 a支路控制方法对比

为了验证ESO 对控制的补偿作用，a 支路选取ESO+BSMC 与常规BSMC 输出进行对比，b 支路控制方法不变，仿真结果如图10所示.

图10 ESO+BSMC与BSMC仿真对比Fig.10 Simulation comparison of ESO+BSMC and BSMC

分析图10可知，a支路输出电压在0.03 s和0.04 s时刻受到-5 V 和+5 V 的输入电压扰动以及0.05 s 和0.06 s 时刻受到1 A—2 A 和2 A—1 A 的负载电流跳变时，若a 支路仅使用BSMC，则会在受到扰动后存在不同程度的稳态误差，若a 支路使用ESO+BSMC，在对扰动进行补偿后，消除了稳态误差，使a 支路输出电压稳定在参考值，电压纹波量也得到了明显减小.

3.2.2 b支路控制方法对比

b 支路选取SM-ADRC 与传统SMC 输出进行对比，a支路控制方法不变，仿真结果如图11所示.

图11 SM-ADRC与传统SMC仿真对比Fig.11 Simulation comparison between SM-ADRC and conven⁃tional SMC

分析图11 可知，b 支路在0.055 s 和0.065 s 时刻受到-5 V和+5 V的输入电压扰动以及0.07 s和0.08 s时刻受到1 A—2 A 和2 A—1 A 的负载电流跳变时，若仅使用传统SMC对b支路进行控制，由于b支路拟合系统并非精确模型，则传统SMC 未能消除建模的偏差和扰动影响所带来的总扰动，b支路输出稳态误差最高为0.4 V，并始终不能回归参考电压vbref.若b支路使用SM-ADRC，则可根据变换器的运行情况对未知的总扰动进行实时估计补偿，不仅可以很好地跟随b 支路参考电压vbref，结合滑模控制优势又获得良好的抗扰性能和瞬态响应速度.

3.2.3 ESO观测值与实际值对比

为了验证ESO 对状态变量及扰动的观测作用，选取两支路ESO 观测值与实际值进行对比，仿真结果如图12所示.

图12 ESO观测值与实际值仿真对比Fig.12 Simulation comparison of ESO observed and real values

图12 中，在0.04 s 和0.05 s 时刻a 支路发生1 A—2 A 和2 A—1 A 的负载电流跳变，在0.07 s 和0.08 s 时刻b 支路发生1 A—2 A 和2 A—1 A 的负载电流跳变.分析图12（a）中两支路输出电压实际值与观测值放大图可知，观测值可以对输出电压进行良好跟随，以a 支路为例，在0.04 s 时刻受到负载扰动时的超调量和调整时间也明显小于实时输出值.分析图12（b）及图12（c）可知，主路ESO 可以对a 支路负载扰动进行良好跟随，而当b 支路负载扰动时，a 支路输出电压受到影响较小，扰动量仅发生轻微变化.支路ESO 用于观测b 支路模型总扰动，对两支路负载扰动影响均可以准确估计，以此保证b 支路输出稳定.