基于模拟退火算法的机械臂刚度辨识构型优化与实验

2023-03-07姜雪洁房立金

农业机械学报 2023年1期

姜雪洁房立金

(1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819; 2.东北大学机器人科学与工程学院，沈阳 110819)

0 引言

实际加工中，由于驱动关节刚度、连杆刚度以及其他传动系统的柔顺，在负载作用下机械臂末端执行器会产生形变，从而影响其定位精度[1-3]。形变的大小和方向与机械臂的构型和载荷矢量相关。普遍认为[4-7]连杆刚度远大于驱动关节刚度，即关节刚度是产生形变的主要原因[8-12]。文献[13]提出了关节刚度的简化线性弹簧模型。文献[14]在关节空间内通过大量测量完成了刚度辨识，提高了机械臂末端定位精度。文献[15]表明在刚度参数辨识过程中，不同的测量构型对于辨识精度会造成不同影响。NAWRATIL[16]针对串联转动关节机械臂的位姿提出了多个性能评价指标。KHAN等[17]通过对比基于Frobenius范数和二范数的雅可比条件数，证明了Frobenius范数更适合条件数指标的优化计算，并引入了基于Frobenius范数的雅可比条件数指标来评估机械臂的设计参数和位姿性能。CARBONE等[18]对刚度矩阵范数、可操作度指数等刚度性能指数进行综合评估，并根据局部刚度指数的最小值、最大值、平均值或统计值定义了全局刚度指数。文献[19]参考经典回归分析中的最优化准则，基于A优化准则提出了辨识参数协方差矩阵的加权迹评价指数。文献[6,7,17,20-22]采用基于Frobenius范数的雅可比矩阵条件数倒数作为评价机械臂可操作性和灵活性的定量指标，在关节空间内得到了高灵活性构型区域，提高了刚度辨识精度。然而，目前刚度指标多面向于机械臂形位优化，鲜有针对加载载荷的研究。

1 机械臂关节刚度辨识与测量构型评价指数

1.1 机械臂关节刚度辨识

机械臂末端执行器受到广义力作用时会产生形变。其笛卡尔刚度KX与关节刚度Kθ的关系为

KX=(J-1)T(Kθ-KC)J-1

(1)

式中KC——补充刚度矩阵[24]

J——运动学雅可比矩阵

相对于Kθ，KC对于KX影响较小[6]，且影响最大的构型接近奇异点，需要机械臂工作及刚度辨识过程中避免。综上，式(1)可简化为

KX=(J-1)TKθJ-1

(2)

利用式(2)完成机械臂关节刚度的辨识，可得

(3)

式中F——施加在机械臂末端执行器的广义力矢量

X——加载后机械臂末端表达在基坐标系中的位移矢量

通过分离、合并各关节柔度，仅考虑末端执行器位移，得到加载后机械臂末端位移与关节柔度的映射

(4)

其中

式中c——关节刚度的逆，即关节柔度向量

设测量构型数量为N，利用最小二乘方法求解式(4)，可得到关节柔度向量的广义最小二乘解为

c=(ATA)-1ATX

(5)

其中

1.2 测量构型评价指数

(6)

X+ΔX=(A+ΔA)(c+Δc)

(7)

式中 ΔX——激光跟踪仪造成的机械臂末端位置测量误差

ΔA——关节扰动和力传感器造成的系数矩阵误差

Δc——辨识方程绝对误差

设非奇异线性方程组(7)经扰动后仍有唯一解c+Δc[23]，则c的相对误差估计式为

(8)

式中κ为系数矩阵A的条件数。由式(8)可知，条件数κ(A)反映了刚度辨识方程组解c的相对误差对于系数矩阵A和常数项X相对误差的依赖程度。

(9)

其中

2 基于模拟退火算法的测量构型优化

2.1 串联六自由度机械臂运动学模型

本文研究对象为六自由度ROKAE串联机械臂，其运动学模型如图1所示，D-H参数[25]如表1所示。为避免机械臂在工作空间的边界出现奇异构型，采用名义关节角范围的95%作为安全工作范围。

图1 ROKAE机械臂连杆坐标系示意图Fig.1 Link coordinate systems for ROKAE serial manipulator

表1 ROKAE机械臂D-H参数Tab.1 D-H parameters and joint ranges of ROKAE serial manipulator

由于本文仅考虑末端执行器位移，故机械臂每个测量构型可提供三维辨识方程组。同时，由于第6关节对末端执行器位移无影响，即机械臂第6列雅可比矩阵恒为0，故只有前5个关节刚度可辨识。综上，当3N≥5时关节柔度向量有广义最小二乘解，即至少需要2个测量构型才能辨识关节刚度。综合考虑辨识可信度及测量效率，最终测量构型数量N选定为10。

2.2 基于模拟退火算法的机械臂测量构型优化

图2 模拟退火算法优化流程图Fig.2 Optimization flow chart of simulated annealing algorithm

优化算法基本步骤为：

(1) 确定ΩJ。在工作空间内随机选取N组测量构型作为备选构型集合ΩJ，记录相应的运动雅可比矩阵。

(2) 确定ΩF。由于系数矩阵A同时取决于雅可比矩阵J和末端载荷F，因此在许用载荷范围内随机生成N组测量载荷作为备选载荷集合ΩF。ΩJ和ΩF共同组成备选结构集合Ω。

(3) 随机生成γM。取初始温度T0，从Ω中随机选出M组作为初始搜索结构γM。以κF(A)为代价函数，计算并记录C(γM)=κF(γM)。

(4) 生成γNEW，并计算C(γNEW)。通过随机交换γM和γNEW中k个元素生成新解。初始阶段k相对较大，确保交换较为活跃，以搜索更多潜在的可行测量结构。后续随着迭代次数增加，当前最优结构组越来越接近全局最优，此时逐渐减小k，使程序在当前最优结构附近搜索最优结构组。

(6)温度T线性减小，返回步骤(3)继续优化。当迭代完成，记录对应的M组测量结构γbest作为最优辨识结构。

3 刚度辨识实验

表2 基于和的优化辨识结构Tab.2 Optimization identification configurations based on

实验系统和测量过程如图3所示。为实现沿3个正交轴方向对末端执行器施加外力，采用设计的夹具连接于机械臂末端执行器。通过基坐标系与末端执行器坐标系之间的变换矩阵，将优化得到的外力载荷转换为基于末端执行器坐标系的相应载荷。每个正交轴方向的载荷由相应的弹簧测力计施加，并可通过OnRobot HEX-E型力传感器进行测量。同时，将反射靶球(SMR)安装在末端执行器上，机械臂末端执行器位置由Leica LTD 500型激光跟踪仪精确测量。