弹道导弹及其诱饵的运动特性研究 *

赵蒙，王明宇 ，谢连杰 ，王健 ，乔睿

（1. 空军工程大学 防空反导学院，陕西 西安 710051；2. 中国人民解放军93792 部队，河北 廊坊 065000）

0 引言

弹道导弹具有射程远、速度快、威力大、突防能力强、打击精度高等特点，已经成为现代高科技战争中的撒手锏武器。另外，由于弹道导弹弹头RCS（radar cross section）非常小而且还携带有强电磁干扰，一般预警雷达系统难以稳定地跟踪目标，为此，如何获取相对准确的弹道数据是众多研究者关注的热点之一［1-5］。目前主要有2 种途径，一是通过卫星、雷达等设备的实测数据来拟合、外推弹道目标的弹道轨迹；二是通过数据仿真的方法来生成目标弹道轨迹［6-8］。事实上，在战前几乎无法通过第1 种手段获取敌方弹道导弹弹道轨迹数据，为此，弹道仿真技术成为分析对手弹道数据的首选方法。近些年来，国内外学者在弹道仿真方面开展了大量研究工作，但是还有许多方面需要完善。文献［9-10］根据弹道目标运动规律，分别建立了弹道目标动力学方程和运动学方程用于导弹飞行轨迹的预测，但是所建模型中没有包含弹道导弹主动段模型，文献［11］根据弹道导弹性能建立了包含不同飞行阶段的弹道模型，但是该方法没有考虑弹道导弹在主动段的飞行特性。文献［12］在分析导弹各阶段受力情况的基础上，建立了参数时变的多级弹道模型，但是该模型只是在导弹速度矢量和位置矢量所决定的平面内建立了二维运动模型，无法用于三维空间仿真。文献［13］在分析常用弹道仿真模型的基础上，提出了一种基于运动学模型与历史实测数据的弹道仿真方法，但该模型缺乏主动段运动模型、无法实现全弹道的仿真，并且仿真精度还受到测量数据的影响。文献［14］以流体力学原理为基础，提出了一种适用于弹道实时仿真的低空风切变复合模型，但该模型适用范围有限，只能应用于近地上空的弹道仿真。文献［15］依据弹道导弹不同阶段的运动特性建立了六自由度仿真模型，并利用遗传算法研究了弹道参数优化问题，但是忽略了主动段飞行程序的部分约束条件。此外，这部分文献中都只是对弹道导弹的主体弹道进行了建模仿真，没有诱饵等相关伴飞物的模型。

本文在深入分析弹道导弹主动段飞行方案的基础上，分3 步设计了弹道导弹主动段运动程序，根据弹道导弹在主动段、自由飞行阶段和再入段的受力情况，联合主动段飞行程序，构建了包含了摄动力、大气阻力等因素的弹道导弹全弹道动力学和运动学模型，并对弹道导弹的诱饵释放过程进行了建模，通过对弹道导弹主体弹道以及4 个诱饵飞行轨迹的仿真分析，得到了有关导弹飞行速度、飞行高度、倾角等参数随时间的变化规律。

1 主动段模型

1.1 主动段飞行程序设计

弹道导弹主动段飞行程序是指导弹主动段俯仰角随时间变化的规律，主动段飞行程序的设计是弹道导弹总体设计工作中的重要组成部分，直接影响导弹战术、技术指标能力的有效发挥［16-17］。设飞行过程中导弹倾角为φ(t)、弹道俯仰角为φ(t)、导弹攻角为α(t)，三者关系如下：

在主动段由于导弹要穿越稠密大气层、克服大气阻力，为了减小空气动力对弹道的影响，弹道在整个主动段飞行过程中攻角α(t)一般都趋近于0（不大于3°），可忽略不计，所以可认为弹道导弹在主动段飞行过程中其推力方向始终与速度方向一致。主动段不仅要尽快使导弹穿越稠密大气层以减小阻力带来的速度损失，还要考虑导弹转弯时的法向过载使导弹具备较高的操纵效率。为了满足这些要求，弹道导弹主动段飞行程序通常又细分为3 个阶段，分别为垂直上升段、程序转弯段、瞄准段，最终使导弹在主动段终点达到理想的弹道倾角φe(t)和速度矢量ve。对于单级导弹，其主动段的飞行程序通常按以下方式设计。

垂直上升段（0 ~ t1）：垂直起飞能够让导弹快速穿越稠密大气层，减小空气阻力的影响，但是时间t1不宜过大也不能太小，过大不仅容易造成弹道转弯过载增大，而且还会增加重力带来的速度损失。t1取值过小无法保证导弹推力发动机在t1时刻达到额定工作状态。t1通常是根据导弹的重推比确定，一般来说导弹的重推比越小，导弹的推力就越大，所以主动段的加速度就越大，导弹就可以在较短时间内达到相应的高度，因此垂直上升段时间t1就可适当取小一点。反之导弹的重推比越大，t1的取值应该大一些。在0~t1时间内，导弹倾角、弹道俯仰角、攻角分别为

转弯段（t1~t2）：在t1~t2时间段，由于导弹开始按照飞行程序角进入转弯状态α(t)≠0，为了减小空气对导弹转弯的影响，必须控制攻角α(t)的大小。在转弯段飞行程序设计时，通常要依据导弹的飞行状态控制攻角的幅度，在这个阶段导弹倾角、攻角由式（3）确定：

瞄准段（t3~ tend）：为了便于弹道导弹在主动段结束时刻tend处顺利实施头体分离，减小弹头的落点散布，该段时间中导弹的倾角φ(t)设计为一常值，因此也可称为常值飞行段。该阶段内导弹的倾角基本保持不变，即

上述内容为弹道导弹主动段飞行程序设计的一般工程实践方法，对于担负具体作战任务的弹道导弹来讲，需要根据具体的作战需求设计满足要求的飞行程序。

1.2 导弹受力情况

在导弹的飞行过程中，由于实际的物理现象和过程往往非常复杂，为了便于建立模型，需要对一些过程和变量进行近似等效。建模过程中将导弹的运动视为质点运动，导弹在主动段飞行过程中，主要受到推力、地心引力、空气阻力、升力、柯式惯性力、牵连惯性力、摄动力等，下面对弹道导弹的受力情况进行分析。

在主动段，为了保持导弹的稳定性，弹道导弹的攻角非常小，基本是一个重力转弯过程，而发动机推力的方向始终沿着弹体轴线方向，所以推力加速度方向与导弹的速度方向一致。设导弹的发动机推力为P，则推力加速度为

空气阻力的矢量方向始终与导弹速度矢量的方向相反［18］，空气阻力加速度可以表示为

式中：Cd为阻力系数，与弹道系数密切相关；S 为导弹的等效横截面积；ρ 为大气密度。

大气密度ρ 是高度的函数，可表示为

式 中：h 为 导 弹 距 离地面 的 高 度；ρ0= 1.22 kg/m3；k = 0.141 41 × 10-2m-1。

导弹的瞬时质量m(t)与导弹起飞质量、燃料消耗率、燃烧时间有关：

式中：m0为导弹起始质量；m为发动机燃料秒消耗量。

地心引力加速度伴随着导弹的整个飞行过程，由于导弹与地球的距离远远小于与其他星球的距离，所以其他星球对导弹的引力相对于地球对导弹的引力非常小，可忽略不计。设导弹的位置矢量为r，则其重力加速度矢量为

式 中：μ = 3.980 05 × 1014m3/s2为 地 球 引 力 常 数；为导弹位置矢量r 的大小。

在弹道导弹运动过程中，除受到重力、推力、空气阻力之外还受到柯式惯性力、牵连惯性力、摄动力的影响。由于柯式惯性力、牵连惯性力对导弹的运动轨迹影响很小，基本可忽略，所以只考虑地球摄动力影响

式中：J2= 1.082 63 × 10-3；re为地球半径；rx，ry，rz分别为r在各轴的分量。

所以弹道导弹在主动段的加速度向量可表示为

1.3 主动段模型

在地心惯性坐标系下，设弹道发射时的方位角为θ，忽略导弹的横向运动，根据弹道导弹在助推段飞行过程中的受力情况，可得助推段弹道导弹质心的运动方程为

2 自由飞行段模型

一般情况下，在弹道导弹的主动段发动机关机之后，弹道导弹进入自由飞行阶段，此时弹道导弹基本已经穿过大气层，近似在真空中飞行，大气对弹道导弹的阻力几乎为0，所以在自由飞行段弹道导弹只受到重力和摄动力的影响，因此自由飞行段弹道导弹质心的运动方程为

在自由飞行段，弹道导弹的倾角主要是在重力的作用下缓慢变化，在导弹高度上升段逐渐减小，达到弹道最高点时导弹倾角为0。在导弹高度下降段导弹的倾角值为负并且不断减小。φ(t)具体可由t时刻导弹的位置矢量r和速度矢量v决定，具体为

3 再入段模型

在弹道导弹再次进入大气层后，弹道导弹主要受到大气阻力、地心引力和摄动力的影响，弹道导弹的弹头既有纵向的运动，又有横向的运动，当横向运动比较小并被忽略时，在弹头再入大气层运动过程中始终认为弹头在再入大气层时的速度矢量和再入大气层时的位置所决定的平面内运动。因此，再入段弹道导弹质心的运动方程为

该阶段的导弹倾角与自由飞行段的导弹倾角计算方法相同。

4 诱饵模型

对于末段非机动弹道导弹来讲，主动段结束后弹道导弹的弹道就基本确定了，这一性质极大地影响了其突防能力。为了提高突防能力，在自由飞行段，弹道导弹通常会采取释放干扰、释放诱饵等方法来减小敌方雷达对弹头的识别概率，为此下面对诱饵释放过程进行建模。

弹道导弹通常携带有多枚诱饵，主动段结束后达到一定的飞行高度后，在导弹母舱的自旋转作用下实现与弹体的分离，分离后的诱饵在惯性作用下分布在弹头的周围，伴随弹头飞行直至落地，以此提高弹头的突防能力。假设导弹弹体在主动段结束时刻以固定的角速度旋转，诱饵释放过程是瞬间完成对弹体的运动状态不造成任何影响，并且导弹的纵轴方向与速度的矢量方向始终保持一致。

设弹道导弹在主动段结束后以角速度ω绕弹体纵轴逆时针旋转，为了在诱饵释放过程中保持弹体运动状态的稳定性，诱饵都是对称地安装在导弹母舱两侧，并且是成对释放。在弹道坐标系中，定义弹道坐标系的Ozd轴与弹道纵轴重合，设诱饵释放时刻诱饵的方位角为Ω，则释放时刻诱饵在Oxd，Oyd构成的平面内的切向速度大小为

式中：rd为弹体母舱的半径。

将速度v1沿Oxd，Oyd进行分解，即可得到诱饵在弹道坐标系下的速度：

式中：v为释放诱饵时刻弹道导弹在弹道坐标系下的速度。

诱饵在弹道坐标系下释放示意图如图1 所示。

图1 诱饵释放示意图Fig. 1 Figure caption

现在得到了诱饵在弹道坐标系下的速度，为了便于仿真计算，还需要把诱饵的速度转换到地心惯性坐标系下。这里可以分2 步进行，首先将诱饵在弹道坐标系下的速度转换到地平坐标系内，然后再转换到地心惯性坐标系中。在地平坐标系下诱饵的速度为

式中：C1为弹道坐标系到地平坐标系的转换矩阵；φ为导弹的倾角。

将诱饵释放时刻弹道导弹在地心惯性坐标系下的位置矢量rs转换为地理坐标(L，B，H)，其中L为经度、B为纬度、H为导弹的海拔高度，继而可得到诱饵在地心惯性坐标系下的速度矢量为

式中：C2为地平坐标系到地心惯性坐标系转换矩阵。在分离后的诱饵在地心引力作用下分布在弹头的周围，伴随弹头自由飞行直至落地，根据诱饵的位置矢量ry=rs、速度矢量vy，联立弹道导弹自由飞行段、再入段运动方程可得到诱饵的全部飞行轨迹。

5 仿真验证

5.1 仿真参数

以射程3 000 km 左右、两级火箭发动机的弹道导弹为例，在地心惯性坐标系下对模型的有效性进行仿真验证，设弹道导弹的发射点坐标为（-323 637，-5 144 076，3 744 779），地理坐标为东经86.40°、北纬36.06°，携带诱饵数量为4 个，编号分别为诱饵1、诱饵2、诱饵3、诱饵4，如图1 所示。弹道导弹的具体参数设置见表1。

表1 仿真参数表Table 1 Simulation parameters

5.2 主动段飞行程序

按照弹道导弹主动段飞行程序设计，主动段的飞行程序主要是导弹飞行倾角随时间的变化规律。多级火箭助推的弹道导弹其转弯段主要由一级火箭实现，主要原因是在该阶段内导弹的飞行速度相对较小，有利于实现快速转弯。根据弹道导弹的相关参数，设置主动段的垂直上升时间t1= 15 s，转弯时间t2= 40 s，瞄准段时间t3= 10 s + 2 s + 50 s。其中2 s 是一级火箭与二级火箭助推器级间分离时间，50 s 是二级火箭燃烧时间，主动段飞行程序如图2所示。由图2 可见，所设计的飞行程序在弹道导弹垂直起飞段结束后开始执行程序转弯，转弯开始时导弹的速度较小，此时弹道以较大的角速度进行转弯，实现导弹的快速转弯。到转弯后期随着导弹速度的不断增大，转弯的角速度逐渐减小，导弹进入缓慢转弯状态，达到了转弯过程中保持导弹运动稳定性的要求。

图2 主动段飞行程序设计Fig. 2 Flight program design of active phase

5.3 仿真结果

根据弹道导弹在各阶段的运动方程，使用四阶Runge-Kutta 积分解算弹道方程，根据计算得到弹道导弹的落点坐标为（-867 878，-2 935 684，5 587 847），地理坐标为东经73.53°、北纬61.41°，射程为2 954 km，总飞行时间为1 222 s，弹道最大高度为1 058 km，到达弹道最高点的时间为648 s。

图3 为弹道导弹主体弹道在各个飞行阶段的飞行轨迹。根据图3 可见，弹道导弹的主动段和再入段在整个弹道导弹飞行过程中占比很小，大部分时间弹道导弹都处于自由飞行段，在1 222 s 的飞行过程中主动段飞行时间只有117 s，基本只占整个弹道的1/10。图4 是导弹弹头、两级助推器以及4 个诱饵在地心惯性坐标系下的运动轨迹，其中一级助推器相对于二级助推器飞行过程很短，这主要是因为一级助推器分离时速度和高度相对较小；4个诱饵则分布在弹头周围，一直伴随着弹头飞行至落地。

图3 主体弹道飞行轨迹Fig. 3 Main body trajectory

图4 弹头、助推器、诱饵的飞行轨迹Fig. 4 Trajectory of warheads，boosters and decoy

图5 是弹头、两级助推器以及4 个诱饵飞行高度随时间的变化曲线，由图可见，在主动段导弹的高度随时间变化比较缓慢，并且能够清楚地获得弹道最高点高度和到达弹道最高点的飞行时间。一级、二级助推器在高度上和弹头区别比较明显，4个诱饵飞行高度与弹头高度相差没有明显区别。图6 是诱饵与弹头之间飞行高度差随时间的变化曲线，可见随着时间的增大，诱饵与弹头之间的高度差越来越大，最大距离达到38 km 左右。图7 是诱饵与弹头之间的距离随时间的变化曲线，随着飞行时间的增大，弹头与诱饵之间的距离也在逐渐增大，这主要是因为弹头与诱饵的大气阻力不同造成的。

图5 弹头、助推器、诱饵飞行高度随时间变化曲线Fig. 5 Variation curve of flight altitude with time

图6 诱饵与弹头之间飞行高度差随时间变化曲线Fig. 6 Variation curve of flight altitude between decoy and warhead with time

图7 诱饵与弹头之间的距离随时间变化曲线Fig. 7 Variation curve of distance between decoy and warhead with time

图8 是弹头、助推器、诱饵飞行速度随时间的变化曲线。根据弹头速度的变化情况可明显看出，主动段结束时刻以及弹道导弹进入大气层的再入时刻，通过导弹运动速度变化规律能够清楚地判断出弹头和助推器的运动阶段，可容易识别弹头和助推器。然而诱饵的速度与弹头的速度几乎没有大的差异，不容易区分。图6 中蓝色曲线是二级助推器的飞行轨迹，如果不考虑弹道系数和大气阻力对其的影响，二级助推器应该和弹头飞行速度相同，但实际上二级火箭与弹头分离之前两者之间有一定的相对速度差，另外由于助推器的横截面积大于弹头的，相对而言助推器受到的大气阻力更大，所以在两者分离之后且未到达弹道最高点时刻，二级助推器速度减速比弹头的要明显。

图8 弹头、助推器、诱饵飞行速度随时间变化曲线Fig. 8 Variation curve of flight speed with time

图9 是两级助推器的推力加速度变化曲线，一级发动机点火后其推力加速度大约为2g，随着弹道燃料的消耗，一级助推器关机时刻推力加速度达到6g左右。二级发动机点火后其推力加速度大约为4g，到主动段结束时刻推力加速达到13.5g。图10 是弹道导弹飞行全程导弹倾角随时间的变化曲线，导弹在主动段结束后的自由飞行段弹道倾角逐渐缓慢地减小，在达到弹道最高点的时刻导弹倾角为0°，而后继续减小，到达再入点后由于受到大气阻力的影响增大，弹道倾角变化速度加剧，落地时刻弹道倾角达到72°左右，所以通过弹道倾角的变化规律也能够快速判断弹道的运动阶段。

图9 助推器推力加速度随时间变化曲线Fig. 9 Thrust acceleration curve of booster with time

图10 导弹倾角随时间变化曲线Fig. 10 Missile inclination curve with time

6 结束语

弹道导弹弹道仿真技术是开展弹道导弹防御系统模拟对抗的关键技术之一，弹道导弹弹头的跟踪识别是弹道导弹防御体系的核心环节，在无法有效获取敌方弹道目标运动轨迹数据之前，提前研究弹道导弹的飞行轨迹和运动规律、特点，将更有利于开展弹道导弹跟踪和识别。本文针对部分文献的不足，在设计弹道导弹主动段飞行程序的基础上，根据弹道导弹在不同运动阶段的受力情况，充分考虑大气阻力、摄动力等因素，构建了包含主动段、自由飞行段、再入段的全弹道运动模型，通过仿真计算得到了弹道导弹的弹道高点、射程、最大速度、飞行时间、落点位置等关键弹道参数，分析了整个飞行过程中弹道导弹飞行高度、速度、倾角、加速度等随时间的变化规律，仿真结果能够全面准确地反映弹道导弹在不同运动阶段的运动特点和运动规律。仿真结果和结论可为弹道导弹弹道设计、目标识别等相关技术人员提供一定的参考和借鉴。