关于一元函数积分学的教学反思

何天荣

（丽江师范高等专科学校数学与信息技术学院 云南 丽江 674199）

1 “一元函数积分学”知识点间的逻辑关系

以华东师范大学数学科学学院主编的《数学分析》教材为例，一元函数积分学包括不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分四章内容。要想讲好一门课，首先必须研究教材，研究教材就要研究整本教材的知识体系、各章节的知识体系及各章节在整本教材中的地位和作用。以下对“一元函数积分学”各章的知识体系进行分析。

1.1 不定积分

不定积分的重点是计算，在课程知识体系中起着承上启下的作用：不定积分与原函数有关，求原函数是求导运算的逆运算，同时，熟练掌握不定积分的计算，将为定积分、反常积分、傅里叶级数、含参量积分、曲线积分、重积分、曲面积分的计算打下坚实的基础。不定积分中所涉及的积分规律、方法、技巧在后继章节中同样适用。原函数的定义是根据导数运算的逆向定义的：设F x和f x在区间I上都有定义，若F'x=f x，则称F x是f x在区间I上的一个原函数。定义中的关键词是“一个”，看到这个关键词，自然会提出疑问：除了F x，f x在区间I上会不会还有其他原函数呢？通过导数知识的常识c'=0（c为任意非零常数），可得F x+c也是f x在区间I上的原函数，并且f x在区间I上的任何两个原函数间只相差一个常数（可以根据导数理论进行证明），从而引入不定积分的概念：函数f x在I区间上的全体原函数称为f x在区间I上的不定积分，记为

因此，计算函数的不定积分，只需求出其中一个原函数，再加上任意常数C即可。但由于原函数是根据导函数的逆运算定义的，根据定义直接逆向推导的积分公式很少，基本初等函数中直接推导的公式只有常数函数、幂函数、指数函数、三角函数中只有正弦函数及余弦函数，其余的基本初等函数如对数函数、三角函数中的正切函数、余切函数、正割函数、余割函数及四个反三角函数都无法按定义直接推导出公式。对比求导运算中六类基本初等函数都有求导公式，所有的求导运算都可以直接套用公式进行计算，可见积分运算是有难度的。在第一次课推导14个基本积分公式时让学生感受到不定积分的计算确实比求导运算要难，需要积分方法和技巧。为后面积分法的教学做好铺垫，本章第2节讨论三种常用积分法：第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法及分部积分法。本章第3节讨论有理函数及简单无理函数的积分是特殊类型函数的积分。

1.2 定积分及其应用

定积分及定积分的应用包括两章的内容，分别是第八章《定积分》及第九章《定积分的应用》。从本质上讲，定积分是一类解决实际问题的数学方法，在数学方面有求平面图形面积、空间物体体积、曲线长、旋转曲面的面积等广泛的应用，在物理方面也有广泛的应用。讲授定积分是为定积分的应用服务的，数学的作用在于解决各类现实问题。在本部分注重培养学生学习数学分析的兴趣，让学生感受定积分的广泛应用，有必要学好，感受到数学源于生活、服务于生活。定积分是解决实际问题的数学方法，由数学背景—求曲面梯形面积及物理背景—求变力做功引入，解决两个分属不同领域的实际问题的数学方法在本质上一样，因此，有必要从数学的角度深入研究这样的数学方法，于是得到了定积分的定义：从定积分的定义可以看得出，定积分是和式极限，计算结果是一个唯一确定的常数。但根据定义计算定积分很困难，从教材的例1[1]可以看出，即使等分积分区间，计算n项和及极限都不容易。好在牛顿和莱布尼兹的伟大发现——牛顿莱布尼兹公式，将本来看似没有关系的不定积分和定积分联系起来：使定积分的计算变得容易了，定积分的应用重点是几何方面的应用，引导学生用定积分知识证明圆面积公式、周长公式、球体积公式、表面积公式，让学生感受到数学分析对初等数学的指导作用。

1.3 反常积分

反常积分是第十一章的内容，是定积分的推广。定积分有两个限制，一是积分区间为有限区间[a,b]，二是被积函数f(x)为有界函数，分别打破这两个条件的限制，就得到了两类反常积分：积分区间[a,b]为无限区间的积分简称为无穷积分，被积函数f x为无界函数的反常积分简称为瑕积分。

本章共3节内容，第1节介绍两类反常积分的定义及按定义判断敛散性；第2、3节分别讨论无穷积分及瑕积分的性质及敛散性的判别法，两节内容在结构安排上完全类似，性质分别对应定积分的区间可加性、柯西收敛准则及线性性质；判别法的本质是比较判别法，一个定理三个推论，其中最好操作的是推论3——柯西判别法，用柯西判别法的关键是透彻理解第一节中对的推导过程及结论：当时收敛，当时发散。

2 一元函数积分学教学策略

2.1 不定积分教学策略

函数f(x)的不定积分是函数f (x)的全体原函数，要计算不定积分首先要会计算原函数，计算原函数是求导运算的逆运算，学生在熟练掌握求导运算的基础上，求原函数会相对容易一些，但因为求原函数的运算是求导运算的逆运算，需要逆向推导，故直接按照定义可以推导出的不定积分公式很少，故有必要研究各种积分方法。

常用的积分法有第一换元积分方法（又称凑微分法）、第二换元积分法及分部积分法，要让学生熟练掌握这些积分法，首先要讲清楚每一种积分法的算理，把握好一条原则：求原函数运算是求导运算的逆运算，证明方法是积分等式右边的函数求导等于左边的被积函数，或者按照求导法则顺推积分法则，例如按函数乘积的求导法则可以推导出分部积分公式。

想要学生熟练掌握积分运算，教师在讲授例题时应重视分析解决每类型例题时所采用的积分方法及技巧，一定要讲清楚为什么可以采用这样的方法解决这种类型的问题.课后让学生通过大量的训练达到熟能生巧。除了教材上的习题，还要补充大量适合学生基础的习题供学生训练并通过让学生上黑板挑战积分等过程测试方式检测学生的训练效果，测试题抽自补充给学生的题库，并将测试结果计入期末总评成绩，这样就可以刺激学生自觉训练。

2.2 定积分及其应用的教学策略

本部分的内容是以熟练掌握不定积分的方法和技巧为必要条件的，在此基础上，首先讲清楚定积分的背景——求曲边梯形的面积和变力做功。让学生感受到数学是源于生活而服务于生活的，感受到定积分的“有用性”进而激发学生的学习兴趣。引入牛顿—莱布尼茨公式后，定积分的计算变得简单明了，不定积分的所有方法和技巧在定积分的计算中依然适用。用公式法与凑微分法积分的定积分直接使用牛顿莱布尼茨公式，鉴于不定积分与定积分的区别，定积分的第二换元法及分部积分法与不定积分略有不同。定积分的应用包括数学方面的应用和物理方面的应用，数学方面的应用包括求平面图形的面积、立体体积、曲线弧长及旋转曲面的面积。

本部分的教学策略是结合学生在中小学就“知其然”的圆面积公式、圆周长公式、球的体积公式、球的表面积公式。引导学生用定积分知识证明这些公式，让学生在中小学对这些公式知其然的基础上知其所以然，让学生切实感受到数学分析是初等数学的理论延伸及指导，让学生体会到学习数学分析对将来从事初等教育工作有直接作用。

2.3 反常积分的教学策略

讲授好反常积分的关键是讲清楚何为“反常”。所谓“反常积分”，是相对于定积分而言的，定积分有两个条件的限制：一是积分区间是有限区间，二是被积函数是有界函数，分别打破这两个条件的限制，就得到两类反常积分：积分区间为无限区间的反常积分简称为无穷积分被积函数为无界函数的反常积分简称为瑕积分。积分区间为无限区间有三种类型，化解问题的原则是“哪里不正常换哪里”，借助化归思想，将无穷积分转化成极限和定积分：于是，是否收敛取决于极限是否存在，的处理方法与完全类似，对于在积分区间插入一个点，即可转换成前两种形式。瑕积分的“不正常”在于瑕点，即函数在瑕点处为无界函数。处理的原则依然是“哪里不正常换哪里”及借助极限及定积分知识，将瑕点换掉，瑕点亦分三种类型：积分下限为瑕点、积分上限为瑕点及瑕点介于积分下限与上限之间。以积分下限为瑕点为例：类似于无穷积分，的收敛与否取决于极限存在与否，下限为瑕点类型的处理方式完全类似，若瑕点为c，a

本章的第2、3节分别讨论了两类反常积分的性质及收敛性的判别法，对性质的讲授联系反常积分的定义及极限的性质便能自然理解。判别法为1个定理3个推论，详证定理，推论的推导依据定理自然可以得到，根据理论间的逻辑联系，逐步推出三个推论，操作性最强的是推论3，理解推论3的前提是理解无穷积分及瑕积分的收敛性并牢记结果，同时在讲解本部分内容时要为将来级数的学习做好铺垫。级数中也有一些类似的概念及判别法，道理是相通的。

3 结语

一元函数积分学是数学分析课程中一个重要的知识模块，它是导数的计算基础，同时是学好多元函数积分学的必要准备。本部分内容是一个严密的知识体系，要讲授好本部分内容，一定要透彻研究本部分知识点间的逻辑联系及每个知识点在知识体系中的地位和作用。这就要求授课教师要认真研读教材，每次课后养成反思的习惯。文章通过本部分内容间的逻辑关系阐述了专业知识教学的策略，除了具有严密的逻辑联系、广泛的应用性、对初等数学的理论指导性，“数学分析”课程中还蕴含丰富的数学思想方法，例如化归思想、数形结合思想、函数思想、极限思想等等，而数学思想方法则是数学的精髓，因此，如何在课程教学中有效地融入数学思想方法，是需要课程主讲教师不断反思和尝试的。同时，课程中还蕴含了丰富的哲学思想，如有限与无限的思想、近似与精确的思想、质量互变原理等，总之，要上好一门课，需要主讲教师不断尝试教学改革与创新、不断反思，在实践中成长。