核心素养视角下的高中数学概念教学——以“函数的零点与方程的根”课堂实录及反思为例

徐荣新 (江苏省无锡市洛社高级中学 214187)

1 问题提出

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]．

笔者基于APOS理论对高中数学概念课进行了专题研究，明晰了概念学习要经过“活动”(概念情境引入)、“过程”(概念定义形成)、“对象”(概念本质理解)和“图式”(概念系统联结)等四个阶段，同时在研究的过程中深刻体会到概念课对于学生数学核心素养提升的价值，也尝试在“理解数学、理解教学、理解学生”[2]的基础上，从核心素养的视角来设计高中数学概念课．

本文以“函数的零点与方程的根”一课的设计和教学为例，借此谈谈概念课教学的感悟与思考．

2 教学过程

2.1 数学现实，创设情境

问题1方程x2-x-3=0是否有解？如果有，如何求解？

生：考虑方程的判别式Δ=(-1)2-4×(-3)=13>0，故方程有解，可以用配方或者求根公式求解．

师：很好，也就是说对于我们熟悉的方程，可以利用代数法求出方程的根．在人类漫长的历史中，很多数学家和数学爱好者尝试解决高次方程，并通过不懈的努力给出了三次方程和四次方程的公式求解法．1824年，22岁的挪威数学家阿贝尔严格地证明了五次及五次以上的代数方程通用的求根公式不存在．当然，对于其他复杂形式的方程，譬如lnx+2x-6=0，也无法用公式来求解．那么，这样的方程有没有解？解大约是多少？我们今天尝试来研究这样的问题．

设计意图此环节为“活动”阶段．从学生已有的认知基础出发，明确方程求解的基本方法——代数(公式)法，同时通过数学历史和数学问题的阐述，让学生认识到代数(公式)法的局限性，激发学生的求知欲，也为引入新的方法和手段埋下伏笔．

2.2 归纳概括，形成概念

问题2回顾初中和高中一元一次不等式和一元二次不等式的求解，我们采用了什么方法？

生：借助函数的图象，找到位于x轴上方或下方部分所对应的x取值．

师：也就是我们建立了函数与不等式之间的关系，用函数的观点认识不等式，那么我们能否用函数的观点来认识方程呢？先请大家完成下面这个表格．

函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c的零点

师(追问)：你对一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有什么新的认识？

生：方程ax2+bx+c=0的根就是函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标．

师(追问)：这样的认识让我们对方程的根有了全面的了解，对于一般的函数y=f(x)，怎么理解？

生：方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的零点，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标．

设计意图此环节为“过程”阶段．在不等式部分学生已了解二次函数与方程、不等式的联系，同时对于零点一笔带过，而对于利用函数来研究不等式，虽然学生已有这样的经历，但以形助数的意识需要在不同的阶段进行强化、渗透，循序渐进．因此基于学生的认知，以熟悉的二次函数为例，在表格的完成过程中体会函数的零点与方程的根、图象交点的关系，进而抽象概括给出一般函数零点定义，再次体会三者之间的关联，体会用函数观点来引领代数知识的学习路径，为后续一般方程根的探究求解提供了思路．

2.3 概念辨析，理解本质

例1判断函数f(x)=x2-x-3在区间(2,3)上是否存在零点．

师(追问1)：还有其他的研究视角吗？

生：可以从函数图象的角度看，由于f(2)= -1<0，f(3)=3>0，因此函数f(x)的图象在区间(2,3)上与x轴有交点，即函数f(x)=x2-x-3在区间(2,3)上存在零点．

师(追问2)：很好！对于函数零点问题，我们可以转化为方程问题进行代数求解，也可以从图象上找到区间内是否有零点的依据，那对于一般的函数y=f(x)，如何判断其在区间(a,b)内是否存在零点呢？

生：如果函数y=f(x)在区间(a,b)上满足f(a),f(b)异号，即f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点．

师(追问3)：会不会出现区间两个端点分别在x轴的上方和下方，但图象却没有穿过x轴？

学生讨论完善：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点c．这个c也是方程f(x)=0的解．

师(追问4)：如果函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？

生：不一定．以函数f(x)=x2-x-3为例，在(-2,3)上有零点，但f(-2)>0，f(3)>0．

设计意图此环节为“对象”阶段．在理解零点概念的基础上给出例1，方法1体现了对函数y=f(x)零点的代数理解，即方程f(x)=0的解，引导学生体会转化的思想．追问1则在学生对函数零点几何属性初体验的基础上，引导学生从图象的角度尝试寻找是否有解的依据，并通过追问2和追问3，总结找寻一般函数y=f(x)区间内存在零点的方法，即函数零点存在定理，并加以完善．同时借助追问4明晰了定理的充分不必要性．在整个过程中从代数(方程的根)、几何(函数图象与x轴交点的横坐标)两个角度加深对函数零点的理解，实现了函数的零点与方程的解的贯通，也就为方程根的求解提供了新的路径．

2.4 概念应用，建立联系

例2方程lnx+2x-6=0是否有解？

生：此方程无法用代数法求解，因此考虑利用函数f(x)=lnx+2x-6，定义域为(0,+∞)，而f(1)=-4<0，f(3)=ln 3>0，而且函数图象是连续的曲线，所以函数f(x)在(1,3)上有零点，即方程lnx+2x-6=0有解．

师(追问1)：还有其他解吗？

生：函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数，因此只有一个解．

师(追问2)：很好！结合我们学过的初等函数，对于方程lnx+2x-6=0，你们能否发现不同的研究视角？

学生讨论，汇报：可以变形为lnx=6-2x，然后分别设g(x)=lnx，h(x)=6-2x，借助这两个函数的图象，发现有交点，且唯一，即原方程只有一个解．

师：方法1直接找寻函数载体f(x)=lnx+2x-6，借助f(1),f(3)的正负和函数零点存在定理，确定有解且唯一，背后是f(x)的图象与x轴的交点；而方法2则通过方程的变形，转化为两个熟悉的初等函数g(x)=lnx，h(x)=6-2x，进而研究函数g(x),h(x)的图象交点，殊途同归，都体现了用函数来求解方程的根，凸显了函数的统领作用．

师(追问3)：大家课后思考，方程lnx+2x-6=0的根离1近，还是离3近？

设计意图此环节为“图式”阶段．例2回到课前情境中的问题，让学生体会代数法受限的情况下，转变思维角度，利用函数思想构造函数， 依据函数零点存在定理进行求解，并通过追问1让学生关注函数性质对求解函数的零点、方程 根的作用，为后续复杂函数零点与方程的根作铺垫；追问2则启发学生对方程进行变形，转化为两 个熟悉函数的图象进行研究．在此过程中，引导学生进行函数与方程的转化，体会函数与方程的思想．

2.5 师生小结，提升认识

一个概念和一个定理：函数的零点和函数零点存在定理．

两种角度和两种思想：函数零点，即方程的根，函数图象与x轴交点的横坐标；函数与方程的思想，数形结合的思想．

设计意图组织学生从知识和方法上进行自我和互帮互助式小结，是学生提升对新知全面认识的又一跨越，可以有效地帮助学生认识知识生成的来龙去脉和其中蕴含的思想方法，也能加深对知识和方法的理解．

3 教学反思

3.1 理解数学，找寻核心素养固着的载体

数学学科的终极培养目标是“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，而课程标准则把“三会”具体化为六个核心素养，即“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”．而要能够把核心素养落到实处，必须通过有机的载体加以渗透，因此，理解教材的编写意图显得尤为重要，只有做到了这一点，才能进一步思考“如何用教材教”．

作为概念课，则是核心素养固着的有机载体，在本节课函数零点的概念生成、函数零点存在 定理的归纳和完善过程中，促进学生思维的发展，能有效提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等能力．只有意识到这些知识和方法承载的育人价值，才能让活动组织和问题凝练得以进一步实施．

3.2 理解教学，组织核心素养落实的活动

基于对教材核心素养角度的理解，教师需要进一步梳理以发展学生数学素养为导向的教学意识，组织学生能够有效参与的教学活动，发挥学生的主体性，借助独立思考、自主学习、合作交流等学习方式，让学生实现思维重点、难点的突破，感悟知识中蕴含的数学基本思想和方法，实现教与学的和谐统一，在这个统一体中努力实践数学思想的感悟与内化[3]．

本节课的函数零点概念并不是学生学习的重点和难点，函数零点概念所蕴含的数形结合、转化与化归、函数与方程等思想，以及函数的零点存在定理的生成与完善，才是学生思维和经验进一步提升和突破的难点．因此教学过程中教师以学生已有的知识和能力为基础，充分发挥学生的主体性，组织构建知识的有机整体，实现融会贯通，最后的小结则让学生对本节课的认知达到一个高度，使收获的知识更加全面．

3.3 理解学生，凝练核心素养提升的问题

发展学生核心素养，最终的手段是问题的设计和解决，教师要结合对于核心素养的理解设计合理的情境和问题，让学生有解决问题的欲望和兴趣；能让学生选择合理的方法解决问题，在此过程中实现方法的理解和掌握；能在解决问题后进行反思总结，发展理性思维，提升思维品质．

本节课在学生函数零点概念基本理解的基础上设计了例1，在解决的过程中强化了对函数零点的双重理解，即代数和图形，建立了函数与方程之间的联系，同时在利用图形方法解决过程中，通过不断的追问，生成和完善了函数零点存在定理；而例2的设计则强化了利用函数解决方程根问题的手段，并通过追问2引导学生对方程进行变形转化，找到问题解决的另一途径，引导学生理解其中共同的本质，而追问3则为后续的二分法学习埋下了伏笔．