带线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程的一致吸引子

徐玲,白雪,张娟娟

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1.引言

本文研究具有线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

一致吸引子的存在性,其中Ω ⊂Rn是具有光滑边界∂Ω的有界开区域,uu(x,t)表示板在点x处t时刻的挠度,ν>0为常数,β是任意常数,函数M1(·),M2(·),g(·),µ(·),p(x,t)分别满足如下假设

(a) 函数M11(R+),R+[0,+∞),M1(0)0满足

(b) 函数M21(R+),M2(0)0满足

(d) 关于记忆核函数,假设µ(·)满足

(e) 外力项p满足

板方程源自于Woinowsky-Krieger在文[1]中所提出的弹性振动方程,若(1.1)中M1(·)0,M2(·)≡0,这种形式的Kirchhoff型项也是由Woinowsky-Krieger提出的,作者建立的长度为l,两端固定的位于X-轴上的可扩展梁的数学模型如下

其中H,E表示杨氏模量,A表示横截面积,∆表示杆的链接两端因挠度而靠近的量,I表示横截面的二阶力矩,ρ表示密度,H表示作用在梁上的轴向力,如果H>0,则表示张力.随后,文[2-3]讨论了上述梁方程满足一定初边值条件时解的适定性.在此基础上,诸多学者们又研究了具有记忆项和非线性阻尼的Kirchhoff型板方程

全局吸引子的存在性,见文[4],该方程源于等温粘弹性理论,它描述了一个具有低阶摄动的四阶粘弹性板,并模拟了可扩展弹性薄板在历史空间中的横向振动.文[5]讨论了具有强阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

的一致吸引子.而文[6]研究了具有非线性阻尼的非自治Kirchhoff型板方程

一致吸引子的存在性.

若M1(·)0,M2(·)0,形如(1.1)的Kirchhoff型是由Ball在文[7]中研究弹性梁时提出的,在阻力与速度成正比的粘性介质中,若考虑两端固定的粘弹性梁在X-Y平面中的横向运动时,得到数学模型

其中E表示杨氏模量,A表示横截面积,η表示有效粘性,∆表示杆的链接两端因挠度而靠近的量,I表示横截面的二阶力矩,ρ表示单位长度梁的质量,δ表示外部阻尼系数.文[8]在第三章讨论了非自治Kirchhoff型梁方程

一致吸引子的存在性,其中h(x,t)是依赖于时间t的周期连续函数.文[9]研究了具有结构阻尼和非线性阻尼的Kirchhoff型梁方程

强全局吸引子的存在性,其中非线性项g(u)和非线性阻尼项f(ut)的临界增长指数均为β为大于0的常数.

受上述文献的启发,本文试图研究带有线性记忆和结构阻尼的非自治Kirchhoff型板方程(1.1)一致吸引子的存在性,其中非线性项g(u)的临界增长指数为本文的困难有以下二点: 一是形如(1.1)中的Kirchhoff型项的引入给有界吸收集和渐近紧性的证明带来了一定的困难;二是线性记忆项的处理,须构造相对复杂的三元解空间,并在此空间中对解进行先验估计,这使得问题更加复杂化.

为了便于计算,在本文中我们引入表示历史位移的新变量η,即

于是问题(1.1)可以转化为

与之对应的边界条件为

初始条件为

本文的结构具体如下: 第二部分,介绍本文相关的预备知识;第三部分,通过在所给定的空间中证明出问题所对应过程族的一致有界吸收集的存在和一致渐近紧性,从而得到一致吸引子的存在性.

2.预备工作

空间H中的内积和范数分别用(·,·)和∥·∥表示,W2的对偶空间W-2表示,对偶空间之间的对偶积用〈·,·〉表示.

定义算子A:W2-2,

〈Au,v〉〈∆u,∆v〉,∀u,2,

D(A)2(Ω)∩(Ω)|2(Ω)},

则A是空间H中的自伴算子,且在空间W2中是严格正的.定义算子A的方幂为As(R),于是空间Ws是Hilbert空间,其内积和范数表示如下

它是Hilbert空间,与之对应的内积和范数分别为

由Poincaré不等式可知

下面介绍与本文有关的非自治动力系统中的一些基本概念及定理,见文[10-11].

假设X是Banach空间,Σ是参数集.如果对任意的,R,

则称{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是X中带有符号空间Σ的过程族.这里Id表示恒等算子.

假设{T(s)}s≥0是作用于Σ的平移半群,如果

则称{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)满足平移恒等式.

在后面的结论中,用B(X)表示X中所有有界集的集合.

定义2.1[10]设B0(X),如果对任意的R,(X),存在时刻T0T0(B,τ)≥τ,使得

则称B0是过程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(关于)有界吸收集.

定义2.2[10]设A ⊂X,如果对任意固定的R,以及每一个(X),

则称A是过程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(关于)吸引集,其中dist(·,·)表示X中两个集合的Hausdorff半距离.特别地,如果闭的一致吸引集AΣ ⊂X包含在任何封闭的一致吸引集中(最小性),则称AΣ是过程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(关于)吸引子.

定义2.3[10]如果函数φ满足条件

则称(X×X)×(Σ×Σ)上的函数ϕ(·,·;·,·)是定义在B×B上的收缩函数.

contr(B,Σ)表示所有定义在B×B上收缩函数的集合.

定理2.1[11]设{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是Banach空间(X,∥·∥)上的一个过程族,满足平移恒等式(2.3)-(2.4),B0⊂X是该过程族上的一致(关于) 有界吸收集.进一步,假设对任意的ε>0,存在TT(B0,ε)和ϕT(·,·;·,·)contr(B0,Σ),使得

其中ϕT(·,·;·,·)是依赖于T的,则称{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)在X中是一致(关于)渐近紧的.

定理2.2[11]设{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)是Banach空间(X,∥·∥)上满足平移恒等式(2.3)-(2.4)的一个过程族.若该过程族在X中有一致(关于)有界吸收集,并且在X中是一致(关于)渐近紧的,则{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)在X中拥有紧的一致(关于)吸引子.

3.主要结果

问题(1.14)-(1.16)的解的适定性可以根据Faedo-Galerkin逼近方法得到,这里不再陈述,我们直接给出下面的结果.

定理3.1假设条件(a)-(e)成立,R,初值(u0,u1,η0(·))1,则对任意固定的T>τ,问题(1.14)-(1.16)有唯一的解(u(t),ut(t),ηt(·))满足

解u(t),ut(t),ηt(·)连续依赖于初值u0,u1,η0(·).

它的算子表示形式如下

于是,根据定理3.1可知,问题(1.14)-(1.16)对所有的都是适定的,而且产生了由Uσ(t,τ)yτy(t)所确定的过程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,),其中y(t)是问题(1.14)-(1.16) 满足条件(a)-(e)的解,{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)满足(2.1)-(2.2).再根据唯一可解性知,过程族满足平移恒等式(2.3)-(2.4).

用{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)表示由系统(3.2)-(3.3)生成的过程族.

根据文[12]中的命题7.1,能够得出如下结论:

下面讨论问题(1.14)-(1.16)所产生的过程族在空间X1中的耗散性,即证明一致有界吸收集的存在性.

证令ζut+θu,用ζ与(1.14)1在H中作内积,经过计算可以推出

由(1.6)可知,存在λ1>λ′>0和C0,使得

联立(3.4)-(3.6),(3.8)-(3.9),再结合(1.3),得

运用Poincaré不等式,再结合(3.7)和条件(a),有

联立(3.12),(3.15)-(3.18),并且运用Poincaré不等式,有

所以X1中的一致(关于)有界吸收集B0为

下面证明问题(1.14)-(1.16)所产生过程族{Uσ(t,τ)}(t ≥τ,R,)的一致(关于)渐近紧性,然后给出一致吸引子存在的结论.为了证明过程族的渐近紧性,首先要对问题(1.14)-(1.16)的解做先验估计,然后根据定理2.1的条件来验证过程族的渐近紧性.

设(u(t),ut(t),ηt(·))和(v(t),vt(t),χt(·))分别是问题(1.14)-(1.16)对应于符号σ1(t)p1(x,t)和σ2(t)p2(x,t)的两个弱解,且它们分别依赖于初值(u0,u1,η0(·)),(v0,v1,χ0(·))0,B0是定理3.5中得到的一致(关于) 有界吸收集.令z(t)u(t)−v(t),ξt(·)ηt(·)−χt(·),则z(t),ξt(·)满足下列方程组

其中(z(0),zt(0),ξ0(·))(u0,u1,η0(·))−(v0,v1,χ0(·)).定义

对于解的先验估计,我们以证明下面引理的形式给出.

运用Young不等式,Hölder不等式,再结合(1.9),有

第二步,用zt(t)乘以(3.21)1,并在[r,T]×Ω(0≤r ≤T)上对其积分,得

对上式在[0,T]上关于r积分,可以推出

再将(3.24)中的r取为0,并且运用Poincaré不等式,可以得到如下估计

第三步,联立(3.22)-(3.23),(3.25)-(3.26),得到

联立(3.45)-(3.46),以及(3.49)-(3.52)可知

其次,由定理3.3可知

根据定理3.4,有如下结果

根据(1.5)和微分中值定理,有

其中ξ3介于u与v之间.再结合Young不等式,Hölder不等式,解的存在性以及Sobolev嵌入(H22(p+1)),可以做出如下估计

根据(3.58)-(3.59),(3.34)-(3.35)和(3.37),可以推出

综上所述,可以知道ΦT(·,·;·,·)contr(B0,Σ).证毕.

根据前面的定理3.5和定理3.6,我们可以得到一致(关于)吸引子的存在性,结果叙述如下: