带有隔离的COVID-19随机SQIR模型研究

赵彦军 ,孙晓辉 ,苏丽 ,李文轩

(1.吉林外国语大学国际商学院,吉林 长春 130117;2.吉林大学数学学院,吉林 长春 130012)

1.引言

2019年12月以来,湖北省武汉市部分医院报告了多例不明原因新型冠状病毒病例.随着确诊病例的快速增长,中国所有省份都受到了冠状病毒肺炎的影响.2020年2月11日,世界卫生组织(WHO)宣布将冠状病毒病命名为“COVID-19”.COVID-19病毒传播相当快,严重病例可导致呼吸困难甚至死亡.COVID-19病毒与严重急性呼吸综合征(SARS) 病毒相似[1],但比SARS 更具传染性[2].根据公共卫生界[3]和世界卫生组织[4]的说法,感染者之间的密切接触是COVID-19病毒传播的主要方式.该疾病可通过受感染个体咳嗽和打喷嚏的呼吸道飞沫传播[5-6],另一种感染途径是间接接触受污染表面[7].由于中国政府采取了及时有效的措施,直到2020年4月底,COVID-19的传播在中国已基本得到控制.2022年12月26日,中国国家卫生健康委员会发布公告,将新型冠状病毒肺炎更名为新型冠状病毒感染.经国务院批准,自2023年1月8日起,解除对新型冠状病毒感染采取的《中华人民共和国传染病防治法》规定的甲类传染病预防、控制措施,但现在距离新冠疫情结束仍有很长的路要走.

目前新型冠状病毒感染已在世界范围内大规模传播,但目前还没有特效的疫苗、抗病毒药物.因此,目前最有效的方法仍是早期发现和隔离治疗.这一方法在中国得到了有力的实践.面对突如其来的疫情,中国于2020年2月首次建设了大型、临时性医院-方舱医院[8]进行科普.他们将现有的公共场所,如展览中心和体育馆,改造成了方舱医院,以隔离新冠肺炎患者,防止进一步感染.这一措施通过严格的社会隔离、地方化和有针对性的措施,降低了发病率,并将其维持在非常低的水平.中国通过实施这些措施总体上控制了COVID-19的传播.

控制病毒感染的基本策略包括早期识别、检疫、诊断、隔离和治疗[9].虽然流行病学家继续对COVID-19进行了大量研究[10],但数学家开发并研究了数学模型,以帮助制定控制策略.早在18世纪,流行病学数学模型的构建工作就已经开始了.从当时的Bernoulli[11]到100多年后的Kermack和McKendrick[12],模型发生了很多变化,现在流行病研究中使用的模型大多是基于后者.这些由一组非线性常微分方程构成的模型称为仓室模型.众所周知,经典的微分方程常被用来分析和研究传染病[13-18].为了更好地理解和分析COVID-19,Ebrahem等[19]建立了如下非线性饱和发病率的COVID-19SQIR模型:

其中:S(t)、Q(t)、I(t)、R(t)分别表示在t时刻易感者、被隔离者、被感染者和恢复者的数量;N(t)S(t)+Q(t)+I(t)+R(t)表示t时刻人口的总量,并且将所有新生儿均视为易感者;β为输入率;β1为正常接触率;b为饱和系数;d0为疾病导致的死亡率;α为易感人群中的隔离率;a为修正系数;γ为感染人群中的恢复率;β2为采取隔离后的接触率;µ为隔离人群的恢复率.基于生物学意义,假设模型(1.1)涉及的所有参数均为正数,且采取隔离措施后,疾病的感染会受到限制,所以假设β1>aβ2.

在现实生活中,疾病的传播过程不可避免的受到环境波动的影响,在数学上用“白噪声”来描述.环境的改变会对传染病模型的参数产生一定的影响,因此为了更好地描述环境变化对疾病的影响,根据实际情况并受文[19-20]的启发,本文主要研究正常接触系数β1受到白噪声干扰时疾病的动力学行为,即β11+σ˙B(t),建立了一类带有隔离的COVID-19随机SQIR传染病模型:

其中B(t)为标准布朗运动,即随机干扰源;σ为白噪声强度.

由于模型(1.2)中的前三个方程与R无关,故只考虑前三个方程构成的与(1.2)等价的模型:

定义1.1对于模型(1.2)-(1.3),

那么称疾病I(t)是持久的.

2.全局正解的存在唯一性

为了研究传染病模型的动态行为,首先需要考虑其解是否具有全局正解.在本节中,首先证明模型(1.3)全局正解的存在唯一性.

定理2.1对任意初值(S(0),Q(0),I(0)).随机模型(1.3)存在唯一全局正解(S(t),Q(t),I(t))(t ≥0),且该解依概率1位于Φ中.

我们采用反证法.若不然,则一定存在常数T>0和(0,1),使得

则存在正整数n1≥n0使得

对(2.2)两端分别从0到tn ∧T积分并取期望,得

3.疾病的灭绝性

本节我们将讨论模型(1.3)的随机灭绝性,研究传染病灭绝性的充分条件.

定理3.1如果

则模型(1.3)的疾病几乎必然灭绝.

因M1(t)是满足初值M1(0)0的局部鞅,根据鞅的强大数定理有

对模型(1.3)中第三个方程应用Itô公式可得

根据下一代矩阵的方法,我们定义模型(1.3)的随机基本再生数为

则有

由定理3.1和定理3.2表明,当白噪声扰动较大或R∗<1且白噪声扰动不大时,疾病就会灭绝.

4.疾病在均值意义下的持久性

本节我们将讨论模型(1.3)的随机持久性,研究传染病持续下去的条件.

定理4.1若R∗>1，则模型(1.3)的疾病将持续存在，且满足

定理得证.

定理4.1表明,当白噪声扰动足够小,使R∗>1时,疾病将持续存在.

5.疾病的遍历平稳分布性

为了研究疾病是否持久流行,本节基于Khasminskii理论[21-24]和Lyapunov函数法研究模型(1.3)的遍历平稳分布存在性，首先给出引理.

引理5.1[22-23]随机微分方程是正常返的,如果Rn中存在一个有界开子集D,D的紧闭包具有正则(或光滑)有界性,并且满足下述性质:

(A1) 存在1,2,...,n}和常数η>0,对任意,有aii(x)>η;

(A2) 存在一个非负C2函数V,使得LV对任意的RnD是负的;则Markov过程x(t)存在唯一的遍历平稳分布π(·).

证为证明定理5.2,只要验证引理5.1中的条件(A1)和(A2)即可.

现在证明条件(A1).模型(1.3)的扩散矩阵为

引理5.1中条件(A1)成立.

现在证明引理5.1中条件(A2)成立,定义

即对任意(S,Q,I)3,有LV ≤−1.

情况4 对任意(S,Q,I)4,利用(5.5),(5.9)有

即对任意(S,Q,I)4,有LV ≤−1.

情况5 对任意(S,Q,I)5,利用(5.5),(5.10)有

即对任意(S,Q,I)5,有LV ≤−1.

即对任意(S,Q,I)6,有LV ≤−1.

由(5.11),(5.12),(5.13),(5.14),(5.15),(5.16)可知,对于充分小的ε,在(S,Q,I)D,有LV(S,Q,I)≤−1.引理5.1中条件(A2)成立.定理得证.

6.数值模拟

在这一部分我们基于文[19-20]的模拟数据,利用Matlab进行数值模拟,验证本文结论的正确性.利用Matlab对确定SQIR传染病模型(1.1)的前三个方程进行模拟,离散格式如下:

选择初值(S(0),Q(0),I(0))(47.89,14.99,14.99),参数取值如下：a0.0034,µ0.062,d00.019,b0.000761.

在图1中,取β0.1,β10.005,β20.02,γ0.03,α0.0009,基本再生数R00.5128<1.由图1可知,确定SQIR模型(1.1)此时疾病将趋于灭绝.

图1 疾病在R0 ≤1时灭绝

在图2中,取β0.9,β10.005,β20.002,γ0.105,α0.0009,基本再生数R01.8237>1.由图2可知,确定SQIR模型(1.1)此时疾病将持续存在.

图2 疾病在R0>1时持久

图3 疾病在环境扰动较大时灭绝

图4 疾病在环境扰动较小且R∗<1时灭绝

我们根据Milstein方法[25],利用Matlab对随机SQI传染病模型(1.3)进行模拟，模型(1.3)的离散格式如下:

在图5中,取β0.9,β10.005,β20.002,γ0.105,α0.0009,小扰动σ0.008,使得R∗1.2958>1,满足定理4.1的条件.由定理4.1的结论可知，此时随机SQI传染病模型(1.3)的疾病将持续存在,这与定理4.1的结论相吻合.

图5 疾病在环境扰动较小但R∗>1时持久

图6 疾病存在唯一的遍历平稳分布

7.结论

本文结合流行病学理论和COVID-19传播的特点,考虑疾病传播过程中,环境的随机波动是影响传染病传播的不可避免地重要因素之一.研究了一类利用白噪声来描述环境对疾病传播影响的带隔离的COVID-19随机SQIR传染病模型,得到了模型全局正解的存在唯一性、灭绝性、持续性和遍历平稳分布性的充分条件,结果表明: 白噪声强度较大时疾病必然灭绝,而白噪声强度较小时,如果R∗<1,疾病也会趋于灭绝,但如果R∗>1,疾病在均值意义下将持续存在,且具有遍历平稳分布性.同时结果还表明: 国家通过采取强有力的管控措施,居家隔离,限制出行,出行戴口罩等防护措施,加强患者隔离集中治疗,切断疾病传染途径,避免人员接触,在很大程度上控制了疾病的传播,减缓了疫情的蔓延.最后,通过数值模拟验证了我们所得到的主要结果.